σ 代數

Basis
最後更新: 標籤: 測度論

先備知識

測度論導論說明了不能對 R\mathbb{R} 的每個子集賦予長度。σ 代數（sigma-algebra）正是回答「應該包含哪些子集？」這個問題的答案，它是使測度得以定義的精確結構。

定義

設 XX 為任意集合。XX 上的 σ 代數是 XX 的子集族 F\mathcal{F}，滿足以下三條公理：

  1. X∈FX \in \mathcal{F} — 全集是可測的。
  2. 若 E∈FE \in \mathcal{F}，則 Ec≔X∖E∈FE^c \coloneqq X \setminus E \in \mathcal{F} — 在補集運算下封閉。
  3. 若 E1,E2,E3,…∈FE_1, E_2, E_3, \ldots \in \mathcal{F}，則 ⋃k=1∞Ek∈F\bigcup_{k=1}^{\infty} E_k \in \mathcal{F} — 在可數聯集運算下封閉。

E∈FE \in \mathcal{F} 的集合稱為 F\mathcal{F}-可測的（或在 F\mathcal{F} 已明確時簡稱可測）。序對 (X,F)(X, \mathcal{F}) 稱為可測空間（measurable space）。

直接推論

從三條公理可以不費力地推導出更多封閉性。

空集。 由公理 1，X∈FX \in \mathcal{F}，故由公理 2，∅=Xc∈F\emptyset = X^c \in \mathcal{F}。

可數交集。 若 E1,E2,…∈FE_1, E_2, \ldots \in \mathcal{F}，則由德摩根定律（De Morgan’s law）：

⋂k=1∞Ek=(⋃k=1∞Ekc)c.(1)\bigcap_{k=1}^{\infty} E_k = \left(\bigcup_{k=1}^{\infty} E_k^c\right)^c. \tag{1}

每個 Ekc∈FE_k^c \in \mathcal{F}（由公理 2）；聯集屬於 F\mathcal{F}（由公理 3）；再取一次補集得 ⋂kEk∈F\bigcap_k E_k \in \mathcal{F}（由公理 2）。故 σ 代數在可數交集運算下也封閉。

差集。 對任意 E,F∈FE, F \in \mathcal{F}，E∖F=E∩Fc∈FE \setminus F = E \cap F^c \in \mathcal{F}，結合交集結論與公理 2 即可得出。

為何「可數」是恰當的強度

公理 3 使用的是可數聯集，而非有限聯集。這是有意為之的。

  • 僅有有限封閉性太弱。 你需要討論集合的極限——例如開集族 {(ak,bk)}\{(a_k, b_k)\}，其聯集在 k→∞k \to \infty 時趨近一個閉區間。僅在有限次運算下封閉的集族無法處理這類極限。
  • 不可數封閉性太強。 若要求在任意聯集下封閉，冪集的每個子集族都會強迫整個冪集進入 F\mathcal{F}。R\mathbb{R} 上在任意聯集下封閉的唯一 σ 代數是 2R2^{\mathbb{R}}——而如維塔利集所示，這包含了不可測集合，無法支撐勒貝格測度。

可數封閉性恰好取得平衡：它足夠豐富，能處理你所需的所有分析構造（極限、開覆蓋的交集等等），同時仍能排除問題集合。

三個典型例子

平凡的 σ 代數

XX 上最小的 σ 代數是 {∅,X}\{\emptyset, X\}。驗證：Xc=∅∈FX^c = \emptyset \in \mathcal{F}，而 ∅\emptyset 和 XX 的任意可數聯集仍是 ∅\emptyset 或 XX。

XX 上最大的 σ 代數是冪集（power set） 2X2^X——即 XX 的所有子集。這顯然滿足全部三條公理，但當 X=RX = \mathbb{R} 時，它太大而無法支撐有用的測度。

R\mathbb{R} 上的 Borel σ 代數

Borel σ 代數 B(R)\mathcal{B}(\mathbb{R}) 是 R\mathbb{R} 上包含所有開區間 (a,b)(a, b) 的最小 σ 代數。更正式地說，它是所有包含開區間的 σ 代數之交集：

B(R)  ≔  ⋂{F:F 是 σ 代數且對所有 a<b 有 (a,b)∈F}.(2)\mathcal{B}(\mathbb{R}) \;\coloneqq\; \bigcap \{\mathcal{F} : \mathcal{F} \text{ 是 σ 代數且對所有 } a < b \text{ 有 } (a,b) \in \mathcal{F}\}. \tag{2}

σ 代數的交集仍是 σ 代數——驗證：若交集中的每個 F\mathcal{F} 都包含 EE，則每個 F\mathcal{F} 也包含 EcE^c（由各自的公理 2），故 EcE^c 屬於交集；可數聯集同理。因此定義 (2)(2) 是合法的。

屬於 B(R)\mathcal{B}(\mathbb{R}) 的集合稱為 Borel 集。由於 B(R)\mathcal{B}(\mathbb{R}) 在可數聯集和交集下封閉：

  • 每個開集都是 Borel 集（作為開區間的可數聯集——回顧 R\mathbb{R} 中每個開集都可分解為可數個不相交的開區間）。
  • 每個閉集都是 Borel 集（開集的補集）。
  • 每個 FσF_\sigma（閉集的可數聯集）和每個 GδG_\delta（開集的可數交集）都是 Borel 集。
  • R\mathbb{R} 中所有「日常」子集——單點集、區間、可數集、多項式零點集——都是 Borel 集。

維塔利集不是 Borel 集；它完全位於 B(R)\mathcal{B}(\mathbb{R}) 之外。

生成 σ 代數

上文已看到 σ 代數的交集仍是 σ 代數。這提供了一種從零開始建構新 σ 代數的簡潔方式。

定義。 設 A\mathcal{A} 是 XX 的子集的任意集族。由 A\mathcal{A} 生成的 σ 代數，記作 σ(A)\sigma(\mathcal{A})，是包含 A\mathcal{A} 中每個集合的最小 σ 代數：

σ(A)  ≔  ⋂{F:F 是 σ 代數且 A⊆F}.\sigma(\mathcal{A}) \;\coloneqq\; \bigcap \{\mathcal{F} : \mathcal{F} \text{ 是 σ 代數且 } \mathcal{A} \subseteq \mathcal{F}\}.

Borel σ 代數恰好是 σ({(a,b):a<b})\sigma(\{(a,b) : a < b\})。

注意 σ(A)\sigma(\mathcal{A}) 並不是 A\mathcal{A} 中集合的所有有限聯集和交集的集合——你還必須在可數次運算下封閉，這可能需要超限多個步驟才能達到 σ(A)\sigma(\mathcal{A}) 的全部內容。

摘要

  • XX 上的 σ 代數 F\mathcal{F} 是子集族，在以下運算下封閉：包含 XX、取補集、取可數聯集——即上述公理 1–3。
  • 由這些公理，F\mathcal{F} 同樣在 ∅\emptyset、可數交集（式 (1)(1)）和差集運算下封閉。
  • 可數封閉性是恰當的強度：有限封閉對分析極限太弱；不可數封閉則會強迫引入不可測集。
  • 平凡 σ 代數 {∅,X}\{\emptyset, X\} 和 2X2^X 分別是最小和最大的。
  • Borel σ 代數 B(R)\mathcal{B}(\mathbb{R})（定義於式 (2)(2)）由開區間生成，包含所有開集、閉集、FσF_\sigma、GδG_\delta 以及所有「日常」集合。
  • 由集族 A\mathcal{A} 生成的 σ 代數是包含 A\mathcal{A} 的最小 σ 代數；它由所有包含 A\mathcal{A} 的 σ 代數取交集得到。
  • 接下來：外測度，在限制到可測集之前，先對 R\mathbb{R} 的每個子集賦予一個初步的「大小」。