σ-加法族

Basis
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前提知識

測度入門では、R\mathbb{R} のすべての部分集合に長さを割り当てることはできないと説明した。σ-加法族はその問いへの答えだ：どの部分集合を含めるべきか？これは測度を可能にする正確な構造だ。

定義

XX を任意の集合とする。XX 上の σ-加法族（sigma-algebra、または σ-field とも呼ばれる）とは、XX の部分集合の族 F\mathcal{F} であって次の三つの公理を満たすものだ：

  1. X∈FX \in \mathcal{F} — 全体集合は可測。
  2. E∈FE \in \mathcal{F} ならば Ec≔X∖E∈FE^c \coloneqq X \setminus E \in \mathcal{F} — 補集合（complement）について閉じている。
  3. E1,E2,E3,…∈FE_1, E_2, E_3, \ldots \in \mathcal{F} ならば ⋃k=1∞Ek∈F\bigcup_{k=1}^{\infty} E_k \in \mathcal{F} — 可算和（countable union）について閉じている。

E∈FE \in \mathcal{F} である集合を**F\mathcal{F}-可測**（F\mathcal{F}-measurable）という（F\mathcal{F} が文脈から明らかなときは単に「可測」という）。組 (X,F)(X, \mathcal{F}) を可測空間（measurable space）という。

すぐに導かれる性質

三つの公理から、追加の作業なしにさらにいくつかの閉性が導かれる。

空集合。 公理 1 より X∈FX \in \mathcal{F}、公理 2 より ∅=Xc∈F\emptyset = X^c \in \mathcal{F}。

可算交叉。 E1,E2,…∈FE_1, E_2, \ldots \in \mathcal{F} ならば、ド・モルガンの法則より：

⋂k=1∞Ek=(⋃k=1∞Ekc)c.(1)\bigcap_{k=1}^{\infty} E_k = \left(\bigcup_{k=1}^{\infty} E_k^c\right)^c. \tag{1}

公理 2 より各 Ekc∈FE_k^c \in \mathcal{F}；公理 3 よりその和集合も F\mathcal{F} に属す；再び公理 2 でその補集合を取れば ⋂kEk∈F\bigcap_k E_k \in \mathcal{F}。したがって σ-加法族は可算交叉についても閉じている。

差集合。 任意の E,F∈FE, F \in \mathcal{F} に対して E∖F=E∩Fc∈FE \setminus F = E \cap F^c \in \mathcal{F}（交叉の結果と公理 2 を組み合わせる）。

「可算」がちょうどよい強さである理由

公理 3 は有限和ではなく可算和を要求している。これは意図的だ。

  • 有限の閉性だけでは弱すぎる。 例えば開区間 {(ak,bk)}\{(a_k, b_k)\} の和集合が k→∞k \to \infty で閉区間に近づくような、集合の「極限」を扱う必要がある。有限回の演算しか閉じていない族では、このような極限を扱えない。
  • 非可算の閉性は強すぎる。 すべての和集合について閉じることを要求すると、冪集合（power set）のすべての部分族が F\mathcal{F} 全体を引き込んでしまう。R\mathbb{R} 上で任意の和集合について閉じた σ-加法族は 2R2^{\mathbb{R}} だけだが、ヴィタリ集合が示す通り、これはルベーグ測度を支えられない。

可算の閉性はちょうどよい落とし所だ：解析的な構成（極限、開被覆の交叉など）に必要なすべてを扱えるほど豊かでありながら、問題のある集合を排除できるほど制限的だ。

三つの標準例

自明な σ-加法族

XX 上の最小の σ-加法族は {∅,X}\{\emptyset, X\} だ。確認：Xc=∅∈FX^c = \emptyset \in \mathcal{F}、∅\emptyset と XX の任意の可算和は ∅\emptyset か XX のどちらかだ。

XX 上の最大の σ-加法族は冪集合 2X2^X — XX のすべての部分集合の族だ。三つの公理を自明に満たすが、X=RX = \mathbb{R} のときは有用な測度を支えるには大きすぎる。

R\mathbb{R} 上のボレル σ-加法族

ボレル σ-加法族（Borel σ-algebra）B(R)\mathcal{B}(\mathbb{R}) は、すべての開区間 (a,b)(a, b) を含む最小の σ-加法族だ。より正式には、開区間を含むすべての σ-加法族の交叉として定義される：

B(R)  ≔  ⋂{F:F は σ-加法族かつ (a,b)∈F (すべての a<b に対して)}.(2)\mathcal{B}(\mathbb{R}) \;\coloneqq\; \bigcap \{\mathcal{F} : \mathcal{F} \text{ は σ-加法族かつ } (a,b) \in \mathcal{F} \text{ (すべての } a < b \text{ に対して)}\}. \tag{2}

σ-加法族の交叉は常に σ-加法族だ——確認：交叉のすべての F\mathcal{F} が EE を含むなら、各 F\mathcal{F} は EcE^c も含み（各 F\mathcal{F} の公理 2 による）、したがって EcE^c は交叉に属す；可算和についても同様。定義 (2)(2) はしたがって適切だ。

B(R)\mathcal{B}(\mathbb{R}) に属す集合をボレル集合（Borel set）という。B(R)\mathcal{B}(\mathbb{R}) は可算和と可算交叉について閉じているので：

  • すべての開集合はボレル集合だ（R\mathbb{R} のすべての開集合は可算個の互いに素な開区間の和として表せる）。
  • すべての閉集合はボレル集合だ（開集合の補集合）。
  • FσF_\sigma 集合（閉集合の可算和）も GδG_\delta 集合（開集合の可算交叉）もボレル集合だ。
  • 一点集合、区間、可算集合、多項式の零点集合など「日常的な」R\mathbb{R} の部分集合はすべてボレル集合だ。

ヴィタリ集合は B(R)\mathcal{B}(\mathbb{R}) に属さない；完全にその外にある。

σ-加法族の生成

σ-加法族の交叉は σ-加法族だという観察が、新しい σ-加法族をゼロから構築するきれいな方法を与える。

定義。 A\mathcal{A} を XX の部分集合の任意の族とする。A\mathcal{A} によって生成された σ-加法族（σ-algebra generated by A\mathcal{A}）を σ(A)\sigma(\mathcal{A}) と書き、A\mathcal{A} のすべての集合を含む最小の σ-加法族として定義する：

σ(A)  ≔  ⋂{F:F は σ-加法族かつ A⊆F}.\sigma(\mathcal{A}) \;\coloneqq\; \bigcap \{\mathcal{F} : \mathcal{F} \text{ は σ-加法族かつ } \mathcal{A} \subseteq \mathcal{F}\}.

ボレル σ-加法族は正確に σ({(a,b):a<b})\sigma(\{(a,b) : a < b\}) だ。

注意：σ(A)\sigma(\mathcal{A}) は A\mathcal{A} の有限和・交叉の集合ではない——可算演算についても閉じる必要があり、σ(A\sigma(\mathcal{A}) のすべての要素に到達するには超限回のステップが必要な場合もある。

まとめ

  • XX 上の σ-加法族 F\mathcal{F} は、XX を含み、補集合について閉じ、可算和について閉じた部分集合の族だ——上の公理 1〜3。
  • これらの公理から、∅\emptyset、可算交叉（式 (1)(1)）、差集合についての閉性も導かれる。
  • 可算の閉性がちょうどよい強さだ：有限は解析的な極限に対して弱すぎ、非可算は非可測集合を引き込んでしまう。
  • 自明な σ-加法族 {∅,X}\{\emptyset, X\} と 2X2^X がそれぞれ最小・最大の例だ。
  • ボレル σ-加法族 B(R)\mathcal{B}(\mathbb{R})（式 (2)(2) で定義）は開区間によって生成され、開・閉・FσF_\sigma・GδG_\delta・「日常的な」集合をすべて含む。
  • 族 A\mathcal{A} によって生成された σ-加法族は A\mathcal{A} を含むすべての σ-加法族の交叉として得られる。
  • 次のステップ：外測度——可測集合に制限する前に R\mathbb{R} のすべての部分集合に予備的な「大きさ」を割り当てる。