測度論

チェックポイント

• 測度入門 Basis 測度論は長さ・面積・体積をひとつの概念に統一し、はるかに奇妙な集合にも大きさを割り当てられるようにする。このチェックポイントでは集合を測ることの問題を動機づけ、有理数に対する素朴な長さがすでに破綻する理由を説明し、σ-加法族と外測度がそれをどう修正するかを展望する。
• ルベーグ測度 Basis ルベーグ測度は区間の長さから構築された外測度をそのカラテオドリ可測集合に制限したものだ。このチェックポイントでは ℝ 上のルベーグ外測度を構築し、ルベーグ σ-加法族を特定し、開集合・閉集合・零集合・平行移動不変性などの基本的な計算を行う。
• カラテオドリの可測性基準 Basis カラテオドリの基準は、外測度が真の（可算加法的な）測度になる集合を選び出す：$E$ がすべてのテスト集合を加法的に分割するとき可測だ。このチェックポイントでは基準を述べ、可測集合が σ-加法族をなすことを証明し、制限された外測度が完備測度になることを示す。
• 外測度 Basis 外測度は可算個の開区間の被覆に対する全長の下限を取ることで、空間のすべての部分集合に大きさを割り当てる。このチェックポイントでは外測度を定義し、単調性と可算劣加法性を証明し、一般に可算加法性が成り立たない理由——可測集合への制限の動機——を示す。
• σ-加法族 Basis σ-加法族は補集合と可算和について閉じた部分集合の族であり、測度が定義される自然な定義域だ。このチェックポイントでは公理を述べ、標準例としてボレル σ-加法族を詳しく扱い、可算（有限でも非可算でもない）閉性がなぜ正しい強さなのかを説明する。