測度入門

Basis
最終更新: タグ: Measure Theory

前提知識

区間 [a,b][a, b] の長さが b−ab - a であることはすでに知っている。では [0,1][0, 1] に含まれるすべての有理数の集合の「長さ」とは何だろうか？あるいは、どんな自明な記述も回避するように構成された集合の「長さ」は？測度論（measure theory）はこれらの問いに厳密に答える数学の分野であり、現代の確率論・積分論・解析学の基礎となっている。

素朴な長さでは不十分な理由

有限個の互いに素な区間の和集合については、長さの計算は明白だ——各区間の長さを足し合わせればよい。問題は R\mathbb{R} のより奇妙な部分集合に長さを割り当てようとするときに始まる。

有理数の測度はゼロ

有理数 Q∩[0,1]\mathbb{Q} \cap [0, 1] は [0,1][0, 1] において稠密（dense）だ：任意の二つの実数の間に有理数が必ず存在する。それでも可算集合で見たように、それらは可算個しかない。この緊張は測度論によって次のように解消される：

λ(Q∩[0,1])=0.(1)\lambda(\mathbb{Q} \cap [0,1]) = 0. \tag{1}

直観：有理数を列 q1,q2,q3,…q_1, q_2, q_3, \ldots に並べ、qkq_k を長さ ε/2k\varepsilon / 2^k の開区間で覆う。これらすべての区間の和集合は [0,1][0,1] のすべての有理数を覆いながら、総長さは

∑k=1∞ε2k=ε\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\varepsilon}{2^k} = \varepsilon

以下だ。ε\varepsilon をいくらでも小さくできるので、有理数は測度ゼロしか占めない——いたるところに存在しているにもかかわらず。

すべての部分集合を測ることはできない

本当の驚きは、R\mathbb{R} の部分集合の中には長さを一貫して割り当てられないものが存在するという事実だ。ヴィタリ集合（Vitali set）が典型例だ。[0,1][0, 1] を同値関係 x∼y  ⟺  x−y∈Qx \sim y \iff x - y \in \mathbb{Q} で分類する。選択公理（Axiom of Choice）により、各同値類からちょうど一つの代表元を選んで集合 VV を作る。VV に長さ λ(V)≥0\lambda(V) \geq 0 を割り当てようとすると矛盾に陥る：平行移動 Vq≔V+qV_q \coloneqq V + q（q∈Q∩[−1,1]q \in \mathbb{Q} \cap [-1, 1]）は互いに素であり、その和集合は [0,1][0, 1] を覆い、長さが可算加法的であるなら総長さは 11 でなければならないが、各項は同じ値になるため 00 でも正の値でも不可能だ。

教訓：すべての集合に長さを割り当てることはできない。測度論の最初の課題は、測れる集合を特定することだ。

測度論が構築するもの

解決策は二つの部分からなる。

第一に、すべての部分集合にサイズを割り当てようとするのをやめ、注意深く選ばれた部分集合の族——σ-加法族（σ-algebra）——に対象を限定する。σ-加法族は補集合と可算和について閉じており、実際に必要なすべての集合演算に対して安定している。ヴィタリ集合はこの族の外にある。

第二に、σ-加法族上で各可測集合に非負の数（+∞+\infty も許す）を割り当てる関数 μ\mu を定義する。鍵となる性質は可算加法性（countable additivity）だ：互いに素な可測集合 E1,E2,…E_1, E_2, \ldots に対して、

μ ⁣(⨆k=1∞Ek)=∑k=1∞μ(Ek).(2)\mu\!\left(\bigsqcup_{k=1}^{\infty} E_k\right) = \sum_{k=1}^{\infty} \mu(E_k). \tag{2}

集合 XX 上の σ-加法族 F\mathcal{F} と (2)(2) を満たす測度 μ ⁣:F→[0,+∞]\mu \colon \mathcal{F} \to [0, +\infty] を合わせたもの (X,F,μ)(X, \mathcal{F}, \mu) を測度空間（measure space）という。

この先の道

次のチェックポイント群で R\mathbb{R} 上のルベーグ測度をステップごとに構築していく：

  1. σ-加法族 — 測度の定義域の正確な定義。
  2. 外測度 — 区間で覆うことですべての部分集合に予備的な「大きさ」を定義する；単調かつ劣加法的だが完全な加法性はない。
  3. カラテオドリの基準 — 外測度が真の測度になる集合を正確に選び出す規則。
  4. ルベーグ測度 — ステップ 2 の外測度をステップ 3 の可測集合に制限したもの；R\mathbb{R} 上の長さの決定版。

まとめ

  • 区間の長さが出発点だが、R\mathbb{R} の任意の部分集合へ長さを拡張するには注意が必要だ。
  • 有理数は稠密であるにもかかわらず測度ゼロだ：可算集合はいつでも全長がいくらでも小さい区間の列で覆えるため——式 (1)(1) の通り。
  • ヴィタリ集合は**R\mathbb{R} のすべての部分集合に一貫した長さを割り当てることはできない**ことを示す：測度の定義域は制限しなければならない。
  • 解決策は測度空間 (X,F,μ)(X, \mathcal{F}, \mu) だ：集合 XX、可測部分集合の σ-加法族 F\mathcal{F}、F\mathcal{F} 上の可算加法的関数 μ\mu からなる——式 (2)(2) 参照。
  • ルベーグ測度は次のチェックポイントで構築される R\mathbb{R} 上の標準的な例だ。