集合入門 — Project Hematite

集合（set）は、現代数学のほぼすべての土台になっている。関数、数列、確率空間、さらには自然数そのものも、突き詰めれば集合を使って定義される。本格的な数学を読んだり書いたりするには、集合に慣れ親しんでおくことが欠かせない。

集合とは何か

集合とは、異なるオブジェクトを順序なしで集めたものだ。集合に含まれるオブジェクトを元（または要素）と呼ぶ。

集合を記述するもっとも直接的な方法は、波括弧の中に元を列挙することだ：

A = \{1,\; 2,\; 3\}

ふたつのことを覚えておこう：

記号 $\in$ は「〜の元である」を意味する。その否定 $\notin$ は「〜の元でない」を意味する。

2 \in \{1, 2, 3\} \qquad 5 \notin \{1, 2, 3\}

特定の数の集合は非常によく登場するため、専用の記号が割り当てられている：

慣習について： $0 \in \mathbb{N}$ かどうかは著者によって異なる。このシリーズでは、 $0$ は自然数として扱う。

小さな集合なら元を列挙できるが、興味深い集合の多くは大きすぎるか、無限集合であるため列挙できない。内包的記法（set-builder notation）を使えば、元が満たすべき性質によって集合を記述できる：

\{x \in \mathbb{R} \mid x > 0\}

これは「 $x > 0$ を満たす $\mathbb{R}$ の元 $x$ 全体の集合」、つまり正の実数全体を表す。縦棒 $\mid$ は「〜を満たす」という意味だ。コロンを使った書き方 $\{x \in \mathbb{R} : x > 0\}$ も見かけることがある。

より一般的には：

\{x \in S \mid P(x)\}

は、述語 $P$ が成り立つ $S$ の元全体からなる部分集合（subset）を表す。

空集合（empty set） $\emptyset$ （または $\{\}$ とも書く）は、元をひとつも含まない唯一の集合だ。すべてのオブジェクト $x$ に対して $x \notin \emptyset$ が成り立つ。

空集合は集合論において、算術における $0$ と同じ構造的役割を果たす。

集合 $A$ が $B$ の部分集合（subset）であるとは、 $A$ のすべての元が $B$ の元でもあることをいい、 $A \subseteq B$ と書く：

A \subseteq B \;\coloneqq\; \forall x,\quad x \in A \;\Rightarrow\; x \in B

$A \subseteq B$ かつ $A \neq B$ のとき、 $A$ は $B$ の真部分集合（proper subset）であるといい、 $A \subsetneq B$ と書く。

覚えておくべき事実：

$\emptyset \subseteq A$ （すべての集合 $A$ に対して）。
$A \subseteq A$ （すべての集合 $A$ に対して）。
$\mathbb{N} \subsetneq \mathbb{Z} \subsetneq \mathbb{Q} \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \mathbb{C}$ 。

ふたつの集合が等しいのは、まったく同じ元を含むときだ。 $A = B$ を示す標準的な方法は、互いに相手の部分集合であることを示すことだ：

A = B \;\iff\; A \subseteq B \;\text{ かつ }\; B \subseteq A

つまり、集合はその元だけによって完全に決まる——どんな書き方をしたかは関係ない。

集合 $A$ と $B$ が与えられたとき、以下の演算によって新しい集合を作れる。

和集合（union） $A \cup B$ は、 $A$ か $B$ か、あるいは両方に属するすべての元を集めたものだ：

A \cup B \;\coloneqq\; \{x \mid x \in A \text{ または } x \in B\}

共通部分（intersection） $A \cap B$ は、 $A$ と $B$ の両方に属する元だけを残したものだ：

A \cap B \;\coloneqq\; \{x \mid x \in A \text{ かつ } x \in B\}

$A \cap B = \emptyset$ のとき、これらの集合は互いに素（disjoint）であるという。

差集合（set difference） $A \setminus B$ （「 $A$ から $B$ を引いたもの」と読む）は、 $A$ の元のうち $B$ に属さないものからなる：

A \setminus B \;\coloneqq\; \{x \mid x \in A \text{ かつ } x \notin B\}

議論する集合がすべて固定された全体集合（universal set） $U$ の中にあるとき、 $A$ の補集合（complement）は $U$ の元のうち $A$ に属さないものすべてだ：

A^c \;\coloneqq\; U \setminus A \;=\; \{x \in U \mid x \notin A\}

有限集合 $A$ の濃度（cardinality） $|A|$ は、 $A$ が含む元の個数だ：

|\{a, b, c\}| = 3, \qquad |\emptyset| = 0

$\mathbb{N}$ や $\mathbb{R}$ のような無限集合に対しても濃度は意味を持つが、より慎重な扱いが必要になる。無限集合の濃度の完全な理論は、後のチェックポイントで扱う。

集合は異なるオブジェクトを順序なしで集めたもので、 $\{a, b, c\}$ や内包的記法 $\{x \in S \mid P(x)\}$ で表す。
$x \in A$ は $x$ が $A$ に属することを、 $x \notin A$ は属さないことを意味する。
空集合 $\emptyset$ は元を持たず、すべての集合の部分集合だ。
$A \subseteq B$ は $A$ のすべての元が $B$ にあること； $A = B$ は $A \subseteq B$ かつ $B \subseteq A$ であること。
基本演算：和集合（ $A \cup B$ ）、共通部分（ $A \cap B$ ）、差集合（ $A \setminus B$ ）、補集合（ $A^c$ ）。
濃度 $|A|$ は集合が持つ元の個数を表す。