写像 — Project Hematite

写像（map）とは、ある集合の各元をちょうどひとつの元に対応させる規則に対する、数学的に厳密な名前だ。プログラミング言語で書く関数は、この意味での写像そのものだ。形式的な定義とその周辺の用語に慣れると、現代数学の大部分への扉が開く。

定義

$A$ と $B$ を集合とする。 $A$ から $B$ への写像 $f$ 、つまり

f \colon A \to B

とは、 $A$ のすべての元 $a \in A$ に対してちょうどひとつの元 $f(a) \in B$ を割り当てる規則だ。

記法 $a \mapsto f(a)$ （「 $a$ は $f(a)$ に移る」と読む）は、 $f$ が個々の元に何をするかを表す。写像の完全な記述はこのふたつを組み合わせる：

f \colon A \to B, \quad a \mapsto f(a).

例．整数上の二乗写像：

f \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, \quad n \mapsto n^2.

ここで $f(3) = 9$ 、 $f(-2) = 4$ 、 $f(0) = 0$ 。

用語について： 写像、関数（function）、マッピング（mapping）はほとんどの数学分野で互換的に使われる。解析学では「関数」という語が連続性を暗黙に含むことが多いが、「写像」は中立的な一般用語だ。

写像を個々の元から部分集合全体へと拡張できる。

$S \subseteq A$ の $f$ による像とは、 $f$ が $S$ 上で生み出す値全体の集合だ：

f(S) \;\coloneqq\; \{f(a) \mid a \in S\} \;\subseteq\; B.

定義域全体の像 $f(A)$ を $f$ の値域（range）と呼ぶ。値域は常に終域の部分集合だが、終域と等しいとは限らない。

$T \subseteq B$ の逆像（preimage、または inverse image）とは、 $T$ の中に移る $A$ の元全体の集合だ：

f^{-1}(T) \;\coloneqq\; \{a \in A \mid f(a) \in T\} \;\subseteq\; A.

$f^{-1}(T)$ は任意の写像 $f$ に対して定義される—— $f$ が逆写像を持つことは必要ない。

この3つの形容詞は、写像が定義域と終域をどのように関係づけるかを分類する。

写像 $f \colon A \to B$ が単射（injective）であるとは、異なる入力が常に異なる出力を生み出すことだ：

f(a_1) = f(a_2) \;\Rightarrow\; a_1 = a_2. \tag{1}

同値な言い方（対偶）： $a_1 \neq a_2 \Rightarrow f(a_1) \neq f(a_2)$ 。

単射な写像は $A$ を $B$ の中に衝突なく埋め込む。

例． $f \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z},\; n \mapsto 2n$ は単射だ： $2n_1 = 2n_2$ ならば $n_1 = n_2$ 。

反例． $g \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z},\; n \mapsto n^2$ は単射でない： $g(2) = g(-2) = 4$ だが $2 \neq -2$ 。

写像 $f \colon A \to B$ が全射（surjective）であるとは、 $B$ のすべての元が $A$ の少なくともひとつの元によって「当たられる」ことだ：

\forall b \in B,\;\exists a \in A \text{ such that } f(a) = b. \tag{2}

同値な言い方：値域が終域全体に等しい、つまり $f(A) = B$ 。

例． $f \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z},\; n \mapsto n + 1$ は全射だ：任意の $b \in \mathbb{Z}$ に対して $a = b - 1$ を取ればよい。

反例． $g \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z},\; n \mapsto 2n$ は全射でない： $2n = 1$ を満たす整数は存在しないので、 $1$ は値域に現れない。

単射かつ全射な写像を全単射（bijective）という。全単射は $A$ の各元と $B$ の各元をちょうどひとつずつ対応させ、 $B$ の元が余ることも重複することもない。

全単射は集合間の「同じ大きさ」を表す正しい概念だ。集合 $A$ と $B$ の濃度が等しいことは、全単射 $f \colon A \to B$ が存在することと同値だ。この定義は無限集合に対しても通用する。

任意の集合 $A$ に対して、恒等写像（identity map） $\mathrm{id}_A \colon A \to A$ を

\mathrm{id}_A(a) \;\coloneqq\; a \quad \text{（すべての } a \in A \text{ に対して）}

で定義する。恒等写像は自明に全単射であり、合成における単位元として機能する。

写像 $f \colon A \to B$ と $g \colon B \to C$ が与えられたとき、それらの合成（composition） $g \circ f \colon A \to C$ を

(g \circ f)(a) \;\coloneqq\; g(f(a))

で定義する。記法は右から左へ読む：まず $f$ を適用し、次に $g$ を適用する。型が揃っている必要がある—— $f$ の終域と $g$ の定義域が等しくなければならない。

合成は次を満たす：

単射の合成は単射、全射の合成は全射、全単射の合成は全単射になる。

$f \colon A \to B$ が全単射ならば、その逆写像（inverse map） $f^{-1} \colon B \to A$ が一意に存在し、

f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_A \qquad \text{かつ} \qquad f \circ f^{-1} = \mathrm{id}_B

を満たす。

具体的には、 $f^{-1}(b)$ は $f(a) = b$ を満たす唯一の元 $a \in A$ だ。

逆写像を持つことと全単射であることは同値だ。だからこそ、全単射は可逆写像（invertible map）とも呼ばれる。