映射 — Project Hematite

映射（map）是一個規則的精確數學名稱，它將一個集合的每個元素送到另一個集合的恰好一個元素。你在程式語言中寫的每個函式，在這個意義上都是一個映射。熟悉正式定義——以及圍繞它的詞彙——將開啟現代數學的大部分領域。

定義

設 $A$ 和 $B$ 為集合。從 $A$ 到 $B$ 的映射 $f$ ，記作

f \colon A \to B,

是一個規則，對 $A$ 中的每個元素 $a \in A$ 指定恰好一個元素 $f(a) \in B$ 。

記號 $a \mapsto f(a)$ （讀作「 $a$ 映射到 $f(a)$ 」）指定 $f$ 對單一元素的作用。完整的映射規範結合兩者：

f \colon A \to B, \quad a \mapsto f(a).

範例。 整數上的平方映射：

f \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, \quad n \mapsto n^2.

此處 $f(3) = 9$ ， $f(-2) = 4$ ， $f(0) = 0$ 。

術語說明。 在大多數數學中，map、function 和 mapping 這三個詞可以互換使用。在分析學中，「function」通常隱含連續性的概念，而「map」是中性的通用術語。

你可以將映射從單個元素推廣到整個子集。

子集 $S \subseteq A$ 在 $f$ 下的像是 $f$ 在 $S$ 上產生的所有值的集合：

f(S) \;\coloneqq\; \{f(a) \mid a \in S\} \;\subseteq\; B.

整個定義域的像 $f(A)$ 稱為 $f$ 的值域（range）。值域永遠是到達域的子集——但不一定等於到達域。

子集 $T \subseteq B$ 的原像（preimage）（或逆像）是 $A$ 中映射進 $T$ 的所有元素的集合：

f^{-1}(T) \;\coloneqq\; \{a \in A \mid f(a) \in T\} \;\subseteq\; A.

注意 $f^{-1}(T)$ 對任意映射 $f$ 都有定義——它不需要 $f$ 有逆映射。

這三個形容詞描述映射如何將其定義域與到達域聯繫起來。

映射 $f \colon A \to B$ 是單射（injective），若不同的輸入永遠產生不同的輸出：

f(a_1) = f(a_2) \;\Rightarrow\; a_1 = a_2. \tag{1}

等價地（逆否命題）： $a_1 \neq a_2 \Rightarrow f(a_1) \neq f(a_2)$ 。

單射將 $A$ 嵌入 $B$ 內而不產生碰撞。

範例。 $f \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z},\; n \mapsto 2n$ 是單射：若 $2n_1 = 2n_2$ 則 $n_1 = n_2$ 。

反例。 $g \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z},\; n \mapsto n^2$ 不是單射： $g(2) = g(-2) = 4$ 但 $2 \neq -2$ 。

映射 $f \colon A \to B$ 是滿射（surjective），若 $B$ 的每個元素都被 $A$ 的至少一個元素映到：

\forall b \in B,\;\exists a \in A \text{ such that } f(a) = b. \tag{2}

等價地，值域等於整個到達域： $f(A) = B$ 。

範例。 $f \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z},\; n \mapsto n + 1$ 是滿射：對任意 $b \in \mathbb{Z}$ ，取 $a = b - 1$ 。

反例。 $g \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z},\; n \mapsto 2n$ 不是滿射： $1$ 永遠不在值域中，因為 $2n = 1$ 沒有整數解。

既是單射又是滿射的映射是雙射（bijective）。雙射將 $A$ 的每個元素與 $B$ 的恰好一個元素配對， $B$ 中沒有元素被遺漏，也沒有被重複。

雙射是集合之間「相同大小」的正確概念。兩個集合 $A$ 和 $B$ 有相同的基數，若且唯若存在雙射 $f \colon A \to B$ 。這個定義對無限集合也適用。

對任意集合 $A$ ，恆等映射（identity map） $\mathrm{id}_A \colon A \to A$ 定義為

\mathrm{id}_A(a) \;\coloneqq\; a \quad \text{for all } a \in A.

它顯然是雙射，並充當複合的中性元素。

給定映射 $f \colon A \to B$ 和 $g \colon B \to C$ ，其複合（composition） $g \circ f \colon A \to C$ 定義為

(g \circ f)(a) \;\coloneqq\; g(f(a)).

記號從右向左讀：先套用 $f$ ，再套用 $g$ 。型別必須對齊—— $f$ 的到達域必須等於 $g$ 的定義域。

複合滿足：

單射的複合是單射；滿射的複合是滿射；雙射的複合是雙射。

若 $f \colon A \to B$ 是雙射，其逆映射（inverse） $f^{-1} \colon B \to A$ 是滿足

f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_A \qquad \text{and} \qquad f \circ f^{-1} = \mathrm{id}_B

的唯一映射。具體地， $f^{-1}(b)$ 是 $A$ 中滿足 $f(a) = b$ 的唯一元素 $a$ 。

一個映射有逆映射，若且唯若它是雙射。這就是雙射也被稱為可逆映射的原因。