集合論

檢查點

• 康托定理 Basis 康托定理證明，對任意集合 A，其冪集 P(A) 永遠嚴格更大——即使兩者都是無限的。本檢查點涵蓋證明背後的對角論證，以及由此引出的無限基數塔。
• 可數集合 Basis 介紹可數集合——說明雙射如何為無限集合定義基數、正式定義可數性，並透過包括整數與有理數在內的明確範例建立直覺。
• 映射 Basis 介紹集合之間的映射，涵蓋定義域、到達域、像、原像、單射性、滿射性、雙射性、複合與逆映射。
• 偏序 Basis 介紹偏序——自反、反對稱且可傳遞的二元關係——涵蓋整除性與集合包含等關鍵範例、哈斯圖，以及極小、極大、最小與最大元素之間的區別。
• 冪集 Basis 介紹冪集——給定集合所有子集的集合——涵蓋記號、明確建構，以及 n 個元素的集合恰好有 2ⁿ 個子集的關鍵結論。
• 集合入門 Basis 精確介紹集合——數學的通用語言——涵蓋記號、元素關係、子集、核心運算與基數。
• 全序 Basis 全序在偏序的基礎上，要求每對元素都可比較，產生一個沒有不可比較對的單一線性排列。
• 不可數集合 Basis 集合若是無限的且不存在與 ℕ 的雙射，則稱之為不可數——沒有任何列舉能窮盡它。本檢查點透過康托的十進位對角論證證明 ℝ 是不可數的，利用 Cantor–Bernstein–Schroeder 定理建立 |𝒫(ℕ)| = |ℝ|，並將連續統置於無限基數的層級結構中。
• 良序 Basis 良序是每個非空子集都有最小元素的全序——這個性質等價於 ℕ 上的數學歸納法，並對更大的集合與選擇公理相連結。
• ZFC 集合論 Basis 精確巡覽 ZFC 的十個公理——現代數學的標準基礎——說明樸素集合論為何失敗、每個公理如何填補特定的漏洞，以及所有數學如何從空集出發逐步建構而成。