集合論

チェックポイント

• カントールの定理 Basis カントールの定理は、どんな集合 A に対しても冪集合 P(A) が常に真に大きいことを証明する――両方が無限集合であっても同様だ。このチェックポイントでは、証明の核心にある対角線論法と、そこから導かれる無限に続く濃度の塔を扱う。
• 可算集合 Basis 可算集合の入門記事。全単射による濃度の定義、可算性の形式的定義、そして整数や有理数を含む具体例を通じて直感を養う。
• 写像 Basis 集合間の写像を紹介し、定義域、終域、像、逆像、単射性、全射性、全単射性、合成、逆写像を扱う。
• 半順序 Basis 半順序（反射的・反対称的・推移的な二項関係）の入門。整除関係や集合の包含関係などの重要な例、ハッセ図、そして極小・極大・最小・最大元の違いを扱う。
• 冪集合 Basis 冪集合（ある集合のすべての部分集合からなる集合）の入門。表記法、具体的な構成方法、そして $n$ 個の元を持つ集合の部分集合がちょうど $2^n$ 個あるという重要な結果を扱う。
• 集合入門 Basis 数学の共通言語である集合を丁寧に紹介する。記法、元の帰属、部分集合、基本演算、濃度を扱う。
• 全順序 Basis 全順序は半順序を拡張し、すべての要素のペアが比較可能であることを要求する。非比較なペアが存在しない、一本の線形なランキングを生み出す。
• 非可算集合 Basis 集合が非可算とは、無限かつ ℕ との全単射が存在しないこと――どんなリストアップもそれを列挙し尽くせない。このチェックポイントでは、カントールの十進対角線論法で ℝ が非可算であることを証明し、カントール–ベルンシュタイン–シュレーダーの定理を使って |𝒫(ℕ)| = |ℝ| を示し、連続体を無限濃度の階層に位置づける。
• 整列順序 Basis 整列順序は、すべての空でない部分集合が最小元を持つ全順序だ。この性質は ℕ 上の数学的帰納法と同値であり、より大きな集合については選択公理と結びついている。
• ZFC 集合論 Basis ZFC の10個の公理を丁寧に巡る旅――素朴な集合論がなぜ失敗するか、各公理が具体的にどんな穴を塞ぐか、そして数学のすべてが空集合からどのように構築されるかを解説する現代数学の標準的な基礎。