ペアノの公理 — Project Hematite

ずっと前から数を数えてきた。でも、数とは本当に何か、立ち止まって考えたことはあるだろうか？ペアノの公理（Peano axioms）は数学者たちの答えだ — たった五つのコンパクトなルールが、純粋な論理だけから数を数えるための数全体を生み出す。

公理とは何か

数学は塔のように積み上げられている。一番下には土台が必要だ — 証明なしに真と受け入れる事実。そのような根本的な真理を公理（axiom）と呼ぶ。

その上にあるすべて（数式、定理、学校で習ったすべてのルール）は、その出発点から注意深く推論することで導かれる。公理は証明されるのではなく、選ばれる。数学者は明らかに真に感じられ、他のすべてを証明するのに十分強力な公理を選ぶ。

公理はボードゲームのルールのようなものだと考えるとわかりやすい。駒が動く前に、テーブルの全員が同じルールに同意する。ゲーム自体 — すべての戦略、手、結果 — はそのルールから生まれる。同様に、算術のすべてはペアノの公理から生まれる。

自然数とは何か

$0, 1, 2, 3, \ldots$ という数を自然数（natural numbers）と呼ぶ。（古い教科書によっては $1$ から始めるものもあるが、現代の慣習では $0$ を含む。ここでもそうする。）

すべての自然数の集合を $\mathbb{N}$ と書く：

\mathbb{N} = \{0,\, 1,\, 2,\, 3,\, 4,\, \ldots\}

1889年、イタリアの数学者ジュゼッペ・ペアノ（Giuseppe Peano）が問いかけた — これらの数が何であるかを正確に定める最小限のものは何か？多くもなく少なくもなく。彼の答えは五つの公理だった。

「次へ」ボタン：後者関数

ペアノのシステムの核となるアイデアは後者関数（successor function）で、 $S$ と書く。ある数の後者とは、単純にその直後の数だ：

S(0) = 1, \qquad S(1) = 2, \qquad S(2) = 3, \qquad \ldots

$S$ を「次へ」ボタンとして考えるといい。 $0$ から押すと $1$ に到達する。もう一度押すと $2$ に到達する。いつでももう一度押せるため、数え続けることは終わらない。

$S$ を使えば、 $0$ より大きいすべての自然数は $0$ からボタンを何回か押したものだ：

1 = S(0), \qquad 2 = S(S(0)), \qquad 3 = S(S(S(0))), \qquad \ldots

このイメージを持てば、五つの公理は述べやすく理解しやすい。

五つのペアノの公理

公理 1：ゼロの存在

0 \in \mathbb{N} \tag{P1}

ゼロは自然数だ。「次へ」ボタンには出発点が必要なため、 $0$ の存在を宣言する。他のすべてはこの一粒の種の上に作られる。

公理 2：すべての数には後者がある

\forall\, n \in \mathbb{N},\quad S(n) \in \mathbb{N} \tag{P2}

$n$ が自然数なら、 $S(n)$ — その直後の数 — も自然数だ。これは「最後」の数が存在しないことを保証する。どれだけ遠くまで数えても、常に一つ先に進める。

公理 3：ゼロは後者ではない

\forall\, n \in \mathbb{N},\quad S(n) \neq 0 \tag{P3}

ゼロの前には何もない。 $0$ 以外のすべての数は何かの後者だが、 $0$ 自体はどんな数の後者でもない。

このルールがなければ、数が時計の時間のように「折り返す」かもしれない（12の「次」が1に戻る）。公理3がそれを排除する — 「次へ」ボタンで $0$ を離れると、二度と戻らない。

公理 4：異なる数には異なる後者がある

\forall\, m, n \in \mathbb{N},\quad S(m) = S(n) \implies m = n \tag{P4}

二つの数が同じ後者を持つなら、それらは同じ数であるはずだ。言い換えると、「次へ」ボタンは異なる二つの数を同じ場所に送ることは決してない — 各数には固有の後者がある。

果てしない行列の人々を想像してほしい。各人は正確に一人の後ろに立っている。公理4は、二人が同じ人の後ろに立つことは決してないと言う。行列は合流せず、ただ永遠に伸び続ける。

公理 5：帰納法の公理

\Bigl[P(0)\ \land\ \forall\, n \in \mathbb{N}\,\bigl(P(n) \implies P(S(n))\bigr)\Bigr] \implies \forall\, n \in \mathbb{N},\; P(n) \tag{P5}

五つの公理の中で最も強力で — 最も驚くべきものだ。

平易な言葉で言うと：ある性質 $P$ が $0$ で成り立ち、ある数 $n$ で成り立つときには必ず次の数 $S(n)$ でも成り立つとする。ならば $P$ はすべての自然数で成り立つ。

古典的なイメージはドミノだ。無限に並んだ立ったドミノを想像してほしい：

最初のドミノが倒れる — それが $P(0)$ 。
倒れたドミノが次を倒す — それが $P(n) \implies P(S(n))$ 。
結論：すべてのドミノがやがて倒れる — それが $\forall\, n,\; P(n)$ 。

なぜこの公理が必要か？なければ、 $\mathbb{N}$ の中に $0$ から「次へ」ボタンで始めて決して到達できない「迷子の」数が潜んでいる可能性がある。公理5はその扉を閉める。 $\mathbb{N}$ には $S$ を $0$ に有限回適用することで到達できる数だけが含まれていると言う — 隠れたものも余計なものもない。

五つの公理から作れるもの

(P1)〜(P5) だけから始めて、加算と乗算を定義して、使ってきたすべての算術ルールを証明できる：

加算は二つのステップで定義される：

m + 0 \coloneqq m \tag{A1}

m + S(n) \coloneqq S(m + n) \tag{A2}

ルール (A1) は「ゼロを加えても変わらない」と言う。ルール (A2) は「 $n$ の後者を加えることは、 $m + n$ の後者を取ることと同じ」と言う。たったこれだけで加算が完全に定義される。

乗算も同様に再帰的だ：

m \times 0 \coloneqq 0 \tag{M1}

m \times S(n) \coloneqq (m \times n) + m \tag{M2}

これらの定義と帰納法の公理から次のことが証明できる：

$m + n = n + m$ （加算の交換法則）
$(m + n) + k = m + (n + k)$ （結合法則）
$m \times (n + k) = m \times n + m \times k$ （分配法則）
…整数の算術について知っているすべてのこと。

すべては五つの単純なルールの論理的な帰結だ。

まとめ

公理は証明なしに受け入れられる出発点の仮定だ。ある理論のすべての数学的推論はその公理の上に作られる。
自然数 $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$ はたった五つの公理で定義できる。1889年にジュゼッペ・ペアノが最初に発表した。
鍵となるツールは後者関数 $S$ だ — 一度適用すると次の数に移る。
五つのペアノの公理が述べること：
- (P1) $0$ は自然数。
- (P2) すべての自然数には後者があり、それも自然数。
- (P3) $0$ はいかなる自然数の後者でもない — 列には真の始まりがある。
- (P4) 後者関数は単射 — 異なる数は常に異なる後者を持つ。
- (P5) 帰納法の公理 — $0$ で成り立つ性質が各数からその後者に「広がる」なら、すべての自然数で成り立つ。
この五つのルールから加算と乗算を定義して、それらのすべての馴染みのある性質を証明できる。