逆三角関数

三角関数から $\sin$, $\cos$, $\tan$ がそれぞれ角度を比へと対応させることはわかっている。自然な逆の問いは：比が与えられたとき、どの角度がそれを生み出したか？その答えが逆三角関数（inverse trigonometric functions）だ——ただし一つ問題がある。正弦と余弦は $2\pi$ ごとに繰り返す周期関数なので $\mathbb{R}$ 全体では単射でない；繰り返す出力をもつ関数は大域的に逆を取れない。標準的な解決策は各関数を厳密に単調になる小さい定義域に制限し、そこで逆関数を定義することだ。

逆正弦（arcsine）

区間 $\left[-\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{\pi}{2}\right]$ 上で正弦関数は $-1$ から $1$ まで狭義単調増加だ——$[-1, 1]$ のすべての値がちょうど1回現れる。この制限は単射なので逆関数をもつ。

**逆正弦（arcsine）**を次で定義する：

$$\arcsin : [-1,\ 1] \to \left[-\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}\right],$$

$\arcsin x$ は $\sin\theta = x$ を満たす唯一の角度 $\theta \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ だ。

逆関係から2つの合成の恒等式が得られる：

$$\sin(\arcsin x) = x \quad \text{すべての } x \in [-1,\ 1] \text{ に対して，}$$ $$\arcsin(\sin\theta) = \theta \quad \text{すべての } \theta \in \left[-\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}\right] \text{ に対して．}$$

2番目の恒等式は制限された区間上でのみ成立する。その外では $\arcsin(\sin\theta)$ は $\theta$ 自身ではなく、$\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ 内での代表元を返す。

逆正弦の導関数

$\theta = \arcsin x$ と置く——すなわち $x = \sin\theta$（$\theta \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$）。$x$ に関して両辺を微分すると：

$$1 = \cos\theta \cdot \frac{d\theta}{dx}.$$

$\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ 上で余弦は非負なので $\cos\theta = \sqrt{1 - \sin^2\theta} = \sqrt{1 - x^2}$。$\dfrac{d\theta}{dx}$ について解くと：

$$\arcsin'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad x \in (-1,\ 1).$$

端点 $x = \pm 1$ では導関数が未定義になる——$\arcsin$ のグラフがそこで垂直な接線をもつ。

逆余弦（arccosine）

区間 $[0, \pi]$ 上で余弦関数は $1$ から $-1$ まで狭義単調減少だ。この制限は単射だ。

**逆余弦（arccosine）**を次で定義する：

$$\arccos : [-1,\ 1] \to [0,\ \pi],$$

$\arccos x$ は $\cos\theta = x$ を満たす唯一の角度 $\theta \in [0, \pi]$ だ。

逆余弦の導関数

$\theta = \arccos x$ と置くと $x = \cos\theta$。$x$ に関して微分すると $1 = -\sin\theta \cdot \dfrac{d\theta}{dx}$。$[0, \pi]$ 上で正弦は非負なので $\sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta} = \sqrt{1 - x^2}$。解くと：

$$\arccos'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad x \in (-1,\ 1).$$

負号は $\arccos$ が狭義単調減少であることを反映している。

arcsin–arccos の恒等式

すべての $x \in [-1, 1]$ に対して：

$$\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}.$$

証明。 $\alpha = \arcsin x$ と置く——すなわち $\sin\alpha = x$、$\alpha \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$。すると

$$\cos\!\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\alpha = x,$$

かつ $\dfrac{\pi}{2} - \alpha \in [0, \pi]$。$\arccos$ の定義の一意性より $\arccos x = \dfrac{\pi}{2} - \alpha$ が従い、整理すると主張の恒等式になる。$\square$

この恒等式により再計算なしに $\arcsin$ と $\arccos$ を相互変換できる。また両者の導関数が互いに符号違いである理由も説明している。

逆正接（arctangent）

開区間 $\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$ 上で正接関数は狭義単調増加で、すべての実数値をちょうど1回とる（端点では $\tan$ が未定義なので除外する）。

**逆正接（arctangent）**を次で定義する：

$$\arctan : \mathbb{R} \to \left(-\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}\right),$$

$\arctan x$ は $\tan\theta = x$ を満たす唯一の角度 $\theta \in \left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$ だ。

$\arcsin$ や $\arccos$ と違い、$\arctan$ の定義域は $\mathbb{R}$ 全体だ。ただし出力は有界なので、この関数は2本の水平漸近線をもつ：

$$\lim_{x \to +\infty} \arctan x = \frac{\pi}{2}, \qquad \lim_{x \to -\infty} \arctan x = -\frac{\pi}{2}.$$

逆正接の導関数

$\theta = \arctan x$ と置くと $\tan\theta = x$。$x$ に関して微分すると：

$$\sec^2\!\theta \cdot \frac{d\theta}{dx} = 1.$$

ピタゴラスの恒等式 $\sec^2\theta = 1 + \tan^2\theta = 1 + x^2$ を使うと：

$$\arctan'(x) = \frac{1}{1 + x^2}, \qquad x \in \mathbb{R}.$$

これはすべての実数 $x$ で定義され常に正なので、$\arctan$ は定義域全体で狭義単調増加であることが確認できる。

その他の逆三角関数

残りの3つの逆三角関数は、$\cot$, $\sec$, $\csc$ を単射となる標準区間に制限することで得られる。

**逆余接（arccotangent）**は $(0, \pi)$ に制限した $\cot$ の逆関数だ：

$$\operatorname{arccot} : \mathbb{R} \to (0,\ \pi).$$

**逆正割（arcsecant）**は $[0, \pi] \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2}\right\}$ に制限した $\sec$ の逆関数だ：

$$\operatorname{arcsec} : (-\infty, -1] \cup [1, +\infty) \to [0,\ \pi] \setminus \left\{\frac{\pi}{2}\right\}.$$

**逆余割（arccosecant）**は $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] \setminus \{0\}$ に制限した $\csc$ の逆関数だ：

$$\operatorname{arccsc} : (-\infty, -1] \cup [1, +\infty) \to \left[-\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}\right] \setminus \{0\}.$$

これら3つは実用上それほど頻繁には現れない。出てきたときはたいてい $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$ を使って書き直せる。

導関数の一覧

6つの逆三角関数の導関数をまとめておく：

関数	導関数	導関数の定義域
$\arcsin x$	$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$(-1,\ 1)$
$\arccos x$	$-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$(-1,\ 1)$
$\arctan x$	$\dfrac{1}{1+x^2}$	$\mathbb{R}$
$\operatorname{arccot} x$	$-\dfrac{1}{1+x^2}$	$\mathbb{R}$
$\operatorname{arcsec} x$	$\dfrac{1}{\lvert x \rvert\sqrt{x^2-1}}$	$\lvert x\rvert > 1$
$\operatorname{arccsc} x$	$-\dfrac{1}{\lvert x \rvert \sqrt{x^2-1}}$	$\lvert x\rvert > 1$

各ペアのパターンに注目：$\arcsin$ と $\arccos$、$\arctan$ と $\operatorname{arccot}$、$\operatorname{arcsec}$ と $\operatorname{arccsc}$ で導関数は互いに符号違いだ。これは補角の恒等式 $\arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi}{2}$ および $\arctan x + \operatorname{arccot} x = \dfrac{\pi}{2}$ を反映している。

まとめ

• $\sin$, $\cos$, $\tan$ は $\mathbb{R}$ 全体では単射でないため、逆関数には狭義単調な区間への制限が必要だ。
• 逆正弦（arcsine）：$\arcsin : [-1, 1] \to \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$、$(-1, 1)$ 上の導関数は $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。
• 逆余弦（arccosine）：$\arccos : [-1, 1] \to [0, \pi]$、$(-1, 1)$ 上の導関数は $-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$；恒等式 $\arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi}{2}$ を満たす。
• 逆正接（arctangent）：$\arctan : \mathbb{R} \to \left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$、$\mathbb{R}$ 上の導関数は $\dfrac{1}{1+x^2}$；水平漸近線 $\pm\dfrac{\pi}{2}$ をもつ。
• 追加の3つの逆関数 $\operatorname{arccot}$, $\operatorname{arcsec}$, $\operatorname{arccsc}$ も同様のパターンに従い、類似した制限定義域をもつ。
• 6つの導関数すべては逆関数定理（定義の恒等式 $f(\theta) = x$ を $x$ に関して微分する）を通じて導かれ、元の三角関数が超越的であるにもかかわらず代数的な式になる。