接線

Basis
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前提知識

曲線上の一点に「ちょうど触れる」だけの直線をどうやって引くか？この直観的な問いは思いのほか深い——答えは極限を必要とし、その極限こそが微分積分学の理論全体が芽吹く種だ。

割線の傾き

ff のグラフ上の点 (x0,f(x0))(x_0, f(x_0)) を取る。その点と近傍の点 (x0+h,f(x0+h))(x_0 + h, f(x_0 + h)) を通る**割線（secant line）**の傾きは

mh  =  f(x0+h)−f(x0)hm_h \;=\; \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

だ。この式 f(x0+h)−f(x0)h\dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} を、増分 hh における x0x_0 での ff の**差分商（difference quotient）**という。

hh をゼロに近づけると、第2の点が曲線上を第1の点へ向かってスライドし、割線が回転する。この過程が唯一の極限の直線に収束するなら、その極限の直線が (x0,f(x0))(x_0, f(x_0)) における**接線（tangent line）**だ。

極限としての接線

定義。 極限

m  =  lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)h(1)m \;=\; \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \tag{1}

が存在して有限のとき、x0x_0 における ff のグラフへの接線は、傾き mm をもち (x0,f(x0))(x_0, f(x_0)) を通る直線

y  =  f(x0)+m(x−x0)y \;=\; f(x_0) + m(x - x_0)

だ。極限 (1)(1) が存在しない（あるいは無限大の）とき、曲線はその点において通常の意味での接線を持たない。

例：放物線 f(x)=x2f(x) = x^2

x0=2x_0 = 2 のとき：

mh  =  (2+h)2−4h  =  4+4h+h2−4h  =  4+h.m_h \;=\; \frac{(2+h)^2 - 4}{h} \;=\; \frac{4 + 4h + h^2 - 4}{h} \;=\; 4 + h.

h→0h \to 0 で mh→4m_h \to 4。点 (2,4)(2, 4) における接線は y=4x−4y = 4x - 4 だ。

例：平方根 f(x)=xf(x) = \sqrt{x}

x0>0x_0 > 0 のとき、分子を有理化すると：

mh  =  x0+h−x0h  =  1x0+h+x0.m_h \;=\; \frac{\sqrt{x_0 + h} - \sqrt{x_0}}{h} \;=\; \frac{1}{\sqrt{x_0 + h} + \sqrt{x_0}}.

h→0h \to 0 で mh→12x0m_h \to \dfrac{1}{2\sqrt{x_0}}。

角点と垂直接線

すべての曲線がすべての点で接線を持つわけではない。f(x)=∣x∣f(x) = |x| は x0=0x_0 = 0 に**角点（corner）を持つ：左からの割線の傾きは −1-1、右からは +1+1 に近づくので、極限 (1)(1) が存在しない。f(x)=x1/3f(x) = x^{1/3} は 00 に垂直接線（vertical tangent）**を持つ：差分商が有界でなくなる。

こうした失敗例が、次のチェックポイントでの微分の形式的な定義を動機づける。

まとめ

  • (x0,f(x0))(x_0, f(x_0)) と (x0+h,f(x0+h))(x_0+h, f(x_0+h)) を通る割線の傾きは f(x0+h)−f(x0)h\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} だ。
  • h→0h \to 0 での割線の傾きの極限が有限の数 mm に収束するとき接線が存在し、その方程式は y=f(x0)+m(x−x0)y = f(x_0) + m(x - x_0) だ。
  • 角点や垂直接線があると、通常の意味での極限が存在しない。