一点における微分

接線は関数の瞬間的な傾きを捉える。このチェックポイントではその直観を厳密にする：$f$ の点 $x_0$ における**微分係数（derivative）**は差分商の極限であり、形式的な定義によってそれに確固たる基盤を与える。

定義

定義。 $f$ が $x_0$ を含む開区間上で定義されているとする。$f$ の $x_0$ における微分係数 $f'(x_0)$ を

$$f'(x_0) \;=\; \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \tag{1}$$

と定める。ただしこの極限が存在して有限のときに限る。このとき $f$ は $x_0$ で**微分可能（differentiable）**という。

$x = x_0 + h$ と置き換えれば、同値な形

$$f'(x_0) \;=\; \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$

も得られる。$\dfrac{df}{dx}\big|_{x=x_0}$ や $\dfrac{d}{dx}f(x)\big|_{x=x_0}$ という記法も標準的だ。

第一原理からの計算

冪関数 $f(x) = x^n$（$n \in \mathbb{N}$）

二項定理より

$$\frac{(x_0+h)^n - x_0^n}{h} \;=\; n x_0^{n-1} + \binom{n}{2} x_0^{n-2} h + \cdots + h^{n-1}.$$

第一項以外はすべて $h$ を因子として含むので、$h \to 0$ で商は $nx_0^{n-1}$ に収束する：

$$\frac{d}{dx}(x^n) \;=\; n x^{n-1}.$$

定数関数 $f(x) = c$

差分商は任意の $h \neq 0$ に対して $\dfrac{c - c}{h} = 0$ なので、$f'(x_0) = 0$。

微分可能性は連続性を含意する

定理。 $f$ が $x_0$ で微分可能ならば、$f$ は $x_0$ で連続だ。

証明。 $f(x_0 + h) - f(x_0) = \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \cdot h$ と書く。第一因子は仮定より $f'(x_0)$ に、第二因子は $0$ に収束する。極限の積の法則より

$$\lim_{h \to 0}\bigl[f(x_0+h) - f(x_0)\bigr] \;=\; f'(x_0) \cdot 0 \;=\; 0,$$

ゆえに $\lim_{h\to 0} f(x_0+h) = f(x_0)$。$\square$

逆は成り立たない：$f(x) = |x|$ は $0$ で連続だが微分不可能だ——左右の差分商の極限がそれぞれ $-1$ と $+1$ になるからだ。

片側微分係数

定義。 $x_0$ における右微分係数と左微分係数を次で定める：

$$f'_+(x_0) \;=\; \lim_{h \to 0^+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}, \qquad f'_-(x_0) \;=\; \lim_{h \to 0^-}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.$$

両側の微分係数 $f'(x_0)$ が存在するのは、両片側微分係数が存在して等しいときに限る。

まとめ

• $f'(x_0) = \lim_{h\to 0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$；この極限が存在するとき $f$ は $x_0$ で微分可能だ。
• $(x^n)' = nx^{n-1}$：二項定理から導かれる。
• 微分可能性は連続性を含意するが、逆は成り立たない。
• $f'(x_0)$ が存在する⟺ $f'_+(x_0)$ と $f'_-(x_0)$ が共に存在して等しい。