一點處的導數

Basis
最後更新: 標籤: 微積分, 微分

先備知識

切線（tangent line）捕捉函式的瞬時斜率。本 checkpoint 將這一直覺精確化：ff 在點 x0x_0 處的**導數（derivative）**是差商的極限，正式定義為其奠定嚴格基礎。

定義

定義。 設 ff 在包含 x0x_0 的某開區間上有定義。ff 在 x0x_0 處的導數，記作 f′(x0)f'(x_0)，定義為

f′(x0)  =  lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)h,(1)f'(x_0) \;=\; \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}, \tag{1}

前提是此極限存在且有限。當極限存在時，稱 ff 在 x0x_0 處可微（differentiable）。

等價地，以代換 x=x0+hx = x_0 + h：

f′(x0)  =  lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0.f'(x_0) \;=\; \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}.

記號 dfdx∣x=x0\dfrac{df}{dx}\big|_{x=x_0} 和 ddxf(x)∣x=x0\dfrac{d}{dx}f(x)\big|_{x=x_0} 也是標準寫法。

從基本原理計算

冪函式 f(x)=xnf(x) = x^n，n∈Nn \in \mathbb{N}

由二項式定理，

(x0+h)n−x0nh  =  nx0n−1+(n2)x0n−2h+⋯+hn−1.\frac{(x_0+h)^n - x_0^n}{h} \;=\; n x_0^{n-1} + \binom{n}{2} x_0^{n-2} h + \cdots + h^{n-1}.

除第一項外，每一項都含有 hh 的因子，故當 h→0h \to 0 時差商收斂到 nx0n−1nx_0^{n-1}：

ddx(xn)  =  nxn−1.\frac{d}{dx}(x^n) \;=\; n x^{n-1}.

常數函式 f(x)=cf(x) = c

差商為 c−ch=0\dfrac{c - c}{h} = 0（對所有 h≠0h \neq 0），故 f′(x0)=0f'(x_0) = 0。

可微蘊含連續

定理。 若 ff 在 x0x_0 處可微，則 ff 在 x0x_0 處連續。

證明。 寫成 f(x0+h)−f(x0)=f(x0+h)−f(x0)h⋅hf(x_0 + h) - f(x_0) = \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \cdot h。第一個因子收斂到 f′(x0)f'(x_0)，第二個因子趨向 00。由極限的乘積法則，

lim⁡h→0[f(x0+h)−f(x0)]  =  f′(x0)⋅0  =  0,\lim_{h \to 0}\bigl[f(x_0+h) - f(x_0)\bigr] \;=\; f'(x_0) \cdot 0 \;=\; 0,

故 lim⁡h→0f(x0+h)=f(x0)\lim_{h\to 0} f(x_0+h) = f(x_0)。□\square

逆命題不成立：f(x)=∣x∣f(x) = |x| 在 00 處連續，但在該點不可微——左右兩側的差商極限分別趨向 −1-1 和 +1+1。

單側導數

定義。 x0x_0 處的右導數和左導數分別為

f+′(x0)  =  lim⁡h→0+f(x0+h)−f(x0)h,f−′(x0)  =  lim⁡h→0−f(x0+h)−f(x0)h.f'_+(x_0) \;=\; \lim_{h \to 0^+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}, \qquad f'_-(x_0) \;=\; \lim_{h \to 0^-}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.

雙側導數 f′(x0)f'(x_0) 存在若且唯若兩個單側導數均存在且相等。

摘要

  • f′(x0)=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)hf'(x_0) = \lim_{h\to 0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}；若此極限存在，則 ff 在 x0x_0 處可微。
  • (xn)′=nxn−1(x^n)' = nx^{n-1}，由二項式定理推導。
  • 可微蘊含連續，但反之不然。
  • f′(x0)f'(x_0) 存在若且唯若 f+′(x0)f'_+(x_0) 和 f−′(x0)f'_-(x_0) 均存在且相等。