切線

Basis
最後更新: 標籤: 微積分, 微分

先備知識

你如何畫出一條恰好觸碰曲線上某點而不穿越它的直線？這個直覺性的問題出人意料地深刻——答案需要一個極限，而這個極限正是整個微分學理論生長的種子。

割線斜率

在 ff 的圖形上取一點 (x0,f(x0))(x_0, f(x_0))。過該點與附近的點 (x0+h,f(x0+h))(x_0 + h, f(x_0 + h)) 的**割線（secant line）**斜率為

mh  =  f(x0+h)−f(x0)h.m_h \;=\; \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}.

表達式 f(x0+h)−f(x0)h\dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} 稱為 ff 在 x0x_0 處、增量為 hh 的差商（difference quotient）。

當 hh 越來越趨近零時，第二個點沿曲線向第一個點靠攏，割線也隨之旋轉。若此過程收斂到唯一的極限直線，則該極限直線就是 (x0,f(x0))(x_0, f(x_0)) 處的切線。

切線作為極限

定義。 若極限

m  =  lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)h(1)m \;=\; \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \tag{1}

存在且有限，則 ff 在 x0x_0 處的切線是過 (x0,f(x0))(x_0, f(x_0))、斜率為 mm 的直線：

y  =  f(x0)+m(x−x0).y \;=\; f(x_0) + m(x - x_0).

當極限 (1)(1) 不存在（或為無窮）時，曲線在該點通常意義下沒有切線。

例：拋物線 f(x)=x2f(x) = x^2

在 x0=2x_0 = 2 處：

mh  =  (2+h)2−4h  =  4+4h+h2−4h  =  4+h.m_h \;=\; \frac{(2+h)^2 - 4}{h} \;=\; \frac{4 + 4h + h^2 - 4}{h} \;=\; 4 + h.

當 h→0h \to 0 時，mh→4m_h \to 4。(2,4)(2, 4) 處的切線為 y=4x−4y = 4x - 4。

例：平方根 f(x)=xf(x) = \sqrt{x}

在 x0>0x_0 > 0 處，有理化分子：

mh  =  x0+h−x0h  =  1x0+h+x0.m_h \;=\; \frac{\sqrt{x_0 + h} - \sqrt{x_0}}{h} \;=\; \frac{1}{\sqrt{x_0 + h} + \sqrt{x_0}}.

當 h→0h \to 0 時，mh→12x0m_h \to \dfrac{1}{2\sqrt{x_0}}。

轉角與垂直切線

並非每條曲線在每個點都有切線。函式 f(x)=∣x∣f(x) = |x| 在 x0=0x_0 = 0 處有一個轉角（corner）：割線斜率從左側趨近 −1-1，從右側趨近 +1+1，因此極限 (1)(1) 不存在。函式 f(x)=x1/3f(x) = x^{1/3} 在 00 處有垂直切線：差商無界增長。

這些失敗的情形促使我們在下一章正式定義導數。

摘要

  • 過 (x0,f(x0))(x_0, f(x_0)) 和 (x0+h,f(x0+h))(x_0+h, f(x_0+h)) 的割線斜率為 f(x0+h)−f(x0)h\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}。
  • 當此極限收斂到有限數 mm 時，x0x_0 處的切線存在，方程為 y=f(x0)+m(x−x0)y = f(x_0) + m(x - x_0)。
  • 轉角或垂直切線使極限無法在通常意義下存在。