連續函數

檢查點

• 連續函數（Continuous Function） Basis 若函式在某點的極限等於該點的函數值，則稱函式在該點連續。本章定義一點處與集合上的連續性，證明連續函式的代數封閉性，並說明所有初等函式在其定義域上均連續。
• 極值定理（Extreme Value Theorem） Basis 在閉有界區間上的連續函式必能取到最大值與最小值。本章用有界性論證證明極值定理，並說明去掉任一假設——連續性、閉性或有界性——結論即可能失效。
• 中間值定理（Intermediate Value Theorem） Basis 若 f 在 [a, b] 上連續，且 y 介於 f(a) 與 f(b) 之間，則存在 c ∈ [a, b] 使得 f(c) = y。本章用 ℝ 的完備性證明此定理，並應用於求根與存在性證明。
• 函數極限（Limit of a Function） Basis 函數極限描述當 x 趨近某點時 f(x) 所趨近的值。本章介紹 ε–δ 定義與數列刻劃，證明兩者等價，並用來計算典型實函數的極限。
• 極限的局部性質 Basis 極限在算術與序關係下表現良好：若 f 與 g 在某點各有極限，則 f±g、fg 及 f/g（分母非零時）也有極限，且不等式可以過渡到極限。本章證明算術法則、序保持定理、夾擠定理，以及局部保號性。