高階導數（Higher-Order Derivatives）

你已知道導數 $f'$ 衡量的是瞬時變化率。但 $f'$ 本身也是一個函式，你可以進一步問它是否也有導數。反覆套用此過程，就能得到高階導數（higher-order derivative），它們編碼了曲率、躍動量，以及泰勒多項式的係數。

遞歸定義

定義。 第 $n$ 階導數 $f^{(n)}$ 以遞歸方式定義：

$$f^{(0)} \coloneqq f, \qquad f^{(n)} \coloneqq \bigl(f^{(n-1)}\bigr)' \quad \text{for } n \geq 1,$$

只要鏈條中的每個導數都存在。

常見符號：

階數	撇號記法	萊布尼茲記法
1 階	$f'$	$\dfrac{df}{dx}$
2 階	$f''$	$\dfrac{d^2f}{dx^2}$
3 階	$f'''$	$\dfrac{d^3f}{dx^3}$
第 $n$ 階	$f^{(n)}$	$\dfrac{d^nf}{dx^n}$

空間 $C^n$ 與 $C^\infty$

若 $f^{(n)}$ 在區間 $I$ 上存在且連續，則稱 $f \in C^n(I)$（讀作「$f$ 是 $C^n$」或「$f$ 是 $n$ 次連續可微的」）。空間 $C^0(I)$ 就是連續函式；$C^1(I)$ 額外要求導數連續；以此類推。

各階導數均存在的函式稱為**光滑（smooth）**函式，屬於 $C^\infty(I)$。

$$C^\infty \;\subsetneq\; \cdots \;\subsetneq\; C^2 \;\subsetneq\; C^1 \;\subsetneq\; C^0.$$

每個包含關係都是嚴格的：存在屬於 $C^n$ 但不屬於 $C^{n+1}$ 的函式。

例。 $f(x) = |x|^{3}$ 在 $\mathbb{R}$ 上屬於 $C^2$（因為 $f'' = 6|x|$ 連續），但不屬於 $C^3$（因為 $f'''(0)$ 不存在）。

高階導數的例子

對多項式 $p(x) = a_n x^n + \cdots + a_0$：

$$p^{(k)}(x) \;=\; \frac{n!}{(n-k)!} a_n x^{n-k} + \cdots \quad (k \leq n), \qquad p^{(k)} \equiv 0 \quad (k > n).$$

對指數函式 $e^x$：$(e^x)^{(n)} = e^x$ 對所有 $n$ 成立。

$\sin x$ 與 $\cos x$ 的導數以週期 4 循環：

$$(\sin x)^{(n)} = \sin\!\left(x + \tfrac{n\pi}{2}\right), \qquad (\cos x)^{(n)} = \cos\!\left(x + \tfrac{n\pi}{2}\right).$$

萊布尼茲法則

乘積法則 $(fg)' = f'g + fg'$ 可推廣至任意階。其形式與二項式定理相互對應。

定理（萊布尼茲法則）。 若 $f$ 與 $g$ 均 $n$ 次可微，則

$$(fg)^{(n)} \;=\; \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)}\, g^{(n-k)}.$$

數學歸納法證明。 基礎情形 $n = 1$ 即乘積法則。假設公式對 $n$ 成立，對兩端求導並對每一項 $f^{(k)} g^{(n-k)}$ 使用乘積法則；二項式遞推關係 $\binom{n}{k-1} + \binom{n}{k} = \binom{n+1}{k}$ 將求和重組為 $n+1$ 的公式。$\square$

例。 $(x^2 e^x)'' = (x^2)'' e^x + 2(x^2)' e^x + x^2 e^x = 2e^x + 4xe^x + x^2 e^x = (x^2 + 4x + 2)e^x$。

摘要

• 第 $n$ 階導數 $f^{(n)}$ 以遞歸方式定義為 $f^{(n-1)}$ 的導數。
• $f \in C^n$ 表示 $f^{(n)}$ 存在且連續；$f \in C^\infty$ 表示各階導數均存在。
• 多項式最終微分至零；$e^x$、$\sin x$、$\cos x$ 屬於 $C^\infty$，且第 $n$ 階導數有封閉形式。
• 萊布尼茲法則：$(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)}$，是二項式定理的直接類比。