高階導関数

Basis
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前提知識

導関数 f′f' が何を測るかはすでに知っている — 瞬間変化率だ。しかし f′f' 自身もひとつの関数であり、それが導関数を持つかどうかを問うことができる。この過程を繰り返すと高階導関数が得られ、曲率・加加速度（jerk）・テイラー多項式の係数などを符号化する。

帰納的定義

定義。 nn 階導関数 f(n)f^{(n)} を帰納的に定義する：

f(0)≔f,f(n)≔(f(n−1))′for n≥1,f^{(0)} \coloneqq f, \qquad f^{(n)} \coloneqq \bigl(f^{(n-1)}\bigr)' \quad \text{for } n \geq 1,

ただし連鎖の各導関数が存在する場合に限る。

よく用いられる記法：

階数プライム記法ライプニッツ記法
1階f′f'dfdx\dfrac{df}{dx}
2階f′′f''d2fdx2\dfrac{d^2f}{dx^2}
3階f′′′f'''d3fdx3\dfrac{d^3f}{dx^3}
nn 階f(n)f^{(n)}dnfdxn\dfrac{d^nf}{dx^n}

CnC^n と C∞C^\infty の空間

f(n)f^{(n)} が区間 II 上で存在して連続であるとき、f∈Cn(I)f \in C^n(I)（「ff は CnC^n」または「ff は nn 回連続微分可能」と読む）という。C0(I)C^0(I) は単に連続関数の全体であり、C1(I)C^1(I) は連続な導関数を追加し、以下同様に続く。

すべての階の導関数を持つ関数は**滑らか（smooth）**と呼ばれ、C∞(I)C^\infty(I) に属する。

C∞  ⊊  ⋯  ⊊  C2  ⊊  C1  ⊊  C0.C^\infty \;\subsetneq\; \cdots \;\subsetneq\; C^2 \;\subsetneq\; C^1 \;\subsetneq\; C^0.

各包含は真の包含だ：CnC^n に属するが Cn+1C^{n+1} に属さない関数が存在する。

例。 f(x)=∣x∣3f(x) = |x|^{3} は R\mathbb{R} 上で C2C^2 だ（f′′=6∣x∣f'' = 6|x| が連続であるため）が、C3C^3 ではない（f′′′(0)f'''(0) が存在しないため）。

高階導関数の例

多項式 p(x)=anxn+⋯+a0p(x) = a_n x^n + \cdots + a_0 に対して：

p(k)(x)  =  n!(n−k)!anxn−k+⋯(k≤n),p(k)≡0(k>n).p^{(k)}(x) \;=\; \frac{n!}{(n-k)!} a_n x^{n-k} + \cdots \quad (k \leq n), \qquad p^{(k)} \equiv 0 \quad (k > n).

指数関数 exe^x に対して：(ex)(n)=ex(e^x)^{(n)} = e^x がすべての nn で成立する。

sin⁡x\sin x と cos⁡x\cos x の導関数は周期4で循環する：

(sin⁡x)(n)=sin⁡ ⁣(x+nπ2),(cos⁡x)(n)=cos⁡ ⁣(x+nπ2).(\sin x)^{(n)} = \sin\!\left(x + \tfrac{n\pi}{2}\right), \qquad (\cos x)^{(n)} = \cos\!\left(x + \tfrac{n\pi}{2}\right).

ライプニッツの公式

積の微分法則 (fg)′=f′g+fg′(fg)' = f'g + fg' はすべての階に一般化される。そのパターンは二項定理を反映している。

定理（ライプニッツの公式）。 ff と gg が nn 回微分可能ならば、

(fg)(n)  =  ∑k=0n(nk)f(k) g(n−k).(fg)^{(n)} \;=\; \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)}\, g^{(n-k)}.

帰納法による証明。 基底ケース n=1n = 1 は積の微分法則だ。nn でこの公式が成立すると仮定し、両辺を微分して各項 f(k)g(n−k)f^{(k)} g^{(n-k)} に積の微分法則を適用する。二項係数の漸化式 (nk−1)+(nk)=(n+1k)\binom{n}{k-1} + \binom{n}{k} = \binom{n+1}{k} が和を n+1n+1 の公式に再び組み上げる。□\square

例。 (x2ex)′′=(x2)′′ex+2(x2)′ex+x2ex=2ex+4xex+x2ex=(x2+4x+2)ex(x^2 e^x)'' = (x^2)'' e^x + 2(x^2)' e^x + x^2 e^x = 2e^x + 4xe^x + x^2 e^x = (x^2 + 4x + 2)e^x。

まとめ

  • nn 階導関数 f(n)f^{(n)} は f(n−1)f^{(n-1)} の導関数として帰納的に定義される。
  • f∈Cnf \in C^n とは f(n)f^{(n)} が存在して連続であること、f∈C∞f \in C^\infty とはすべての階の導関数が存在することだ。
  • 多項式は有限回の微分でゼロになる。exe^x・sin⁡x\sin x・cos⁡x\cos x は C∞C^\infty であり、nn 階導関数が閉形式で表せる。
  • ライプニッツの公式：(fg)(n)=∑k=0n(nk)f(k)g(n−k)(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)}。これは二項定理の直接類似だ。