柯西均值定理 — Project Hematite

假設你從城市 $A$ 開車到城市 $B$ ，同時記錄位置與油耗。在途中某一時刻，你的瞬時速度與瞬時油耗率之比，必定等於總路程與總油耗之比。柯西定理就是這一觀察的嚴格形式：它同時處理兩個函式的變化，並比較它們的變化率。

定理陳述

定理（柯西均值定理）。 設 $f, g : [a, b] \to \mathbb{R}$ 。若

$f$ 和 $g$ 在 $[a, b]$ 上連續，
$f$ 和 $g$ 在 $(a, b)$ 上可微，且
對所有 $x \in (a, b)$ ， $g'(x) \neq 0$ ，

則存在 $c \in (a, b)$ 使得

\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} \;=\; \frac{f'(c)}{g'(c)}. \tag{1}

注。條件 3 保證 $g(b) \neq g(a)$ ：若 $g(b) = g(a)$ ，對 $g$ 應用拉格朗日均值定理會給出某個內部點使 $g' = 0$ ，與條件 3 矛盾。因此 $(1)$ 左側有意義。

證明

關鍵在於構造一個端點值相等的輔助函式，再應用拉格朗日均值定理。

定義

h(x) \;\coloneqq\; [f(b) - f(a)]\,g(x) \;-\; [g(b) - g(a)]\,f(x).

由於 $f$ 和 $g$ 在 $[a, b]$ 上連續、在 $(a, b)$ 上可微， $h$ 也具有同樣性質。計算：

h(a) = [f(b)-f(a)]\,g(a) - [g(b)-g(a)]\,f(a),

h(b) = [f(b)-f(a)]\,g(b) - [g(b)-g(a)]\,f(b).

二者之差為

h(b) - h(a) = [f(b)-f(a)][g(b)-g(a)] - [g(b)-g(a)][f(b)-f(a)] = 0,

故 $h(a) = h(b)$ 。對 $h$ 應用拉格朗日均值定理，存在 $c \in (a, b)$ 使 $h'(c)(b-a) = h(b) - h(a) = 0$ ，即 $h'(c) = 0$ 。對 $h$ 求導：

h'(x) = [f(b) - f(a)]\,g'(x) - [g(b) - g(a)]\,f'(x).

令 $h'(c) = 0$ 得 $[f(b)-f(a)]\,g'(c) = [g(b)-g(a)]\,f'(c)$ 。除以 $g'(c) \neq 0$ 與 $g(b)-g(a) \neq 0$ 即得 $(1)$ 。 $\square$

與拉格朗日定理的關係

令 $g(x) = x$ 。則 $g'(x) = 1$ 且 $g(b) - g(a) = b - a$ ， $(1)$ 化為

\frac{f(b) - f(a)}{b - a} \;=\; f'(c),

這正是拉格朗日均值定理。柯西定理是真正的推廣：拉格朗日定理的每一個實例都是取第二個函式為恆等函式所得的特殊情形。

參數曲線的幾何意義

當 $x$ 是參數，曲線 $(g(x),\, f(x))$ 在 $x \in [a, b]$ 上描繪出一條軌跡，從 $(g(a), f(a))$ 到 $(g(b), f(b))$ 的弦斜率為 $\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$ 。定理 $(1)$ 說明在某個參數值 $c$ 處，曲線的切線斜率 $f'(c)/g'(c)$ 與弦斜率相等。這是均值定理在參數曲線上的版本。

摘要

柯西定理：若 $f, g$ 在 $[a,b]$ 上連續、在 $(a,b)$ 上可微，且 $g' \neq 0$ 在 $(a,b)$ 上成立，則存在 $c \in (a,b)$ 使得 $\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \dfrac{f'(c)}{g'(c)}$ 。
證明：定義 $h(x) = [f(b)-f(a)]\,g(x) - [g(b)-g(a)]\,f(x)$ ；它滿足 $h(a) = h(b)$ ，故拉格朗日均值定理給出 $h'$ 的零點。
拉格朗日均值定理是取 $g(x) = x$ 的特殊情形。
對參數曲線而言，定理說明存在某個內部參數值使切線斜率等於弦斜率。