確率論

サブカテゴリ

• 二次元確率変数
• 条件付き確率
• 確率変数

チェックポイント

• 分布の畳み込み Essential 二つの独立な確率変数 X + Y の和の分布は、それぞれの分布の畳み込みだ。このチェックポイントでは畳み込みの公式 (f_X * f_Y)(z) = ∫ f_X(x) f_Y(z − x) dx（密度の場合）および PMF に対応する和の公式を導出し、Binomial(m, p) + Binomial(n, p) = Binomial(m + n, p)、Poisson(λ) + Poisson(μ) = Poisson(λ + μ)、N(μ_1, σ_1²) + N(μ_2, σ_2²) = N(μ_1 + μ_2, σ_1² + σ_2²) を計算し、畳み込み演算とモーメント母関数の乗法的性質の関係を説明する。
• 期待値 Essential 確率変数 X の期待値は背景の確率測度に関するルベーグ積分 E[X] = ∫ X dP であり、分布の観点からは ∫ x dF(x) と同値だ。このチェックポイントでは離散・絶対連続の両ケースで E[X] を定義し、線形性 E[aX + bY] = aE[X] + bE[Y] を確立し、無意識の統計学者の法則 E[g(X)] = ∫ g(x) dF(x) を証明する。
• モーメント母関数 Essential モーメント母関数 M_X(t) = E[e^(tX)] は、t = 0 でのテイラー展開の係数として X のモーメントを符号化する：M_X^(k)(0) = E[X^k]。このチェックポイントでは MGF を定義し、標準的な分布に対して計算し、独立な X, Y に対する乗法的性質 M_{X+Y} = M_X · M_Y を導出し、MGF が分布を決定する際の存在条件と一意性条件を論じる。
• 確率論入門 Essential 現代の確率論は総質量が1である測度空間の研究だ——あらゆる確率的命題は可測集合・可測関数・積分に関する命題に還元される。このチェックポイントでは測度論的な枠組みを動機付け、この後の道筋（標本空間・公理・確率変数・期待値・条件付き構造・マルコフ連鎖）を俯瞰し、ルベーグ積分がなぜ正しい基礎かを説明する。
• モーメント Essential 確率変数 X の第 k モーメントは E[X^k]、第 k 中心モーメントは E[(X − E[X])^k] だ。このチェックポイントでは生モーメントと中心モーメントを定義し、平均と分散をそれぞれ第 1 モーメント・第 2 中心モーメントとして導出し、標準化された第 3・第 4 中心モーメントである歪度と尖度を概観し、モーメントが分布を特徴づける意味とその限界を説明する。
• 確率の公理 Essential 確率空間は測度が全標本空間に質量1を割り当てる測度空間 (Ω, ℱ, P) だ。このチェックポイントではコルモゴロフの3公理——非負性・正規化・可算加法性——を述べ、直接的な帰結（単調性・包除原理・下からの連続性・上からの連続性）を導出し、確率が単位総質量の制約を持つ測度論に過ぎないことを示す。
• 標本空間と事象 Essential 標本空間 Ω は確率実験のすべての可能な結果の集合であり、事象は Ω の部分集合だ。このチェックポイントでは語彙——標本点・標本空間・事象・根元事象・補集合・和集合・交叉——を確定し、事象に対する集合論的演算が命題に対する論理演算と対応することを示す。
• 分散 Essential 分散 Var(X) = E[(X − E[X])²] は X の平均からの平均二乗偏差を測り、散らばりに関する最も単純な非自明な統計量だ。このチェックポイントでは計算公式 Var(X) = E[X²] − (E[X])² を導出し、スケール則 Var(aX + b) = a² Var(X) を証明し、X と同じ単位を持つ標準偏差 σ = √Var(X) のみが実用的に報告されるにもかかわらず、代数的に自然な量が分散である理由を論じる。