モーメント

平均と分散は分布の中心と広がりを教えてくれる。しかし、まったく異なる二つの分布が同じ平均と分散を持つことがある——たとえば左右対称なベル型曲線と急激に歪んだ曲線のように。モーメント（moment）は、より詳細な形状情報を一次ずつ系統的に取り出す方法だ。

生モーメント

確率変数 $X$ の第 $k$ 生モーメント（または原点まわりの第 $k$ モーメント）は、期待値が有限であるとき

$$\mu'_k \coloneqq E[X^k], \quad k = 0, 1, 2, \ldots$$

と定義される。第 0 モーメントは常に $\mu'_0 = E[1] = 1$ だ。第 1 モーメントは $\mu'_1 = E[X] = \mu$、すなわち平均だ。

中心モーメント

第 $k$ 中心モーメントは平均まわりの第 $k$ モーメントだ：

$$\mu_k \coloneqq E\bigl[(X - \mu)^k\bigr], \quad k = 0, 1, 2, \ldots$$

最初の二つの中心モーメントは：

• $\mu_0 = 1$。
• $\mu_1 = E[X - \mu] = 0$（中心化した変数の平均はゼロ）。
• $\mu_2 = E[(X - \mu)^2] = \operatorname{Var}(X)$、すなわち分散。

中心モーメントは平行移動不変だ：$X$ を $X + c$ で置き換えても、すべての $\mu_k$（$k \geq 2$）は変わらない。このため、形状の自然な尺度となる。

生モーメントと中心モーメントの変換

二項定理が関係式を与える。$(X - \mu)^k$ を展開すると：

$$\mu_k = \sum_{j=0}^{k} \binom{k}{j} \mu'_j \, (-\mu)^{k-j}.$$

最初のいくつかの変換式：

$$\mu_2 = \mu'_2 - (\mu'_1)^2,$$ $$\mu_3 = \mu'_3 - 3\mu'_2 \mu'_1 + 2(\mu'_1)^3,$$ $$\mu_4 = \mu'_4 - 4\mu'_3 \mu'_1 + 6\mu'_2 (\mu'_1)^2 - 3(\mu'_1)^4.$$

これらの公式は、$E[(X - \mu)^k]$ を直接計算するより $E[X^k]$ の方が扱いやすい場合に有用だ。

標準化モーメント：歪度と尖度

中心モーメントを無次元かつスケール不変にするには、標準偏差 $\sigma = \sqrt{\mu_2}$ の適切な冪で割る。

歪度

歪度（skewness）は標準化された第 3 中心モーメントだ：

$$\gamma_1 \coloneqq \frac{\mu_3}{\sigma^3} = \frac{E[(X-\mu)^3]}{(E[(X-\mu)^2])^{3/2}}.$$

• $\gamma_1 = 0$ は対称な分布（第 3 中心モーメントが対称性より消える）。
• $\gamma_1 > 0$ は右に歪んだ（正の歪み）分布を示す：右の裾が長く、まれに非常に大きな値が現れて平均を中央値より上に引き上げる。
• $\gamma_1 < 0$ は左に歪んだ分布を示す。

例。 指数分布 $\operatorname{Exp}(\lambda)$ は平均 $1/\lambda$、分散 $1/\lambda^2$、$E[(X-1/\lambda)^3] = 2/\lambda^3$ なので $\gamma_1 = 2 > 0$ となり、右に歪んでいる——密度関数の長い右裾と一致する。

尖度と超過尖度

尖度（kurtosis）は標準化された第 4 中心モーメントだ：

$$\gamma_2 \coloneqq \frac{\mu_4}{\sigma^4} = \frac{E[(X-\mu)^4]}{(E[(X-\mu)^2])^2}.$$

標準正規分布では $\gamma_2 = 3$ だ。多くの統計ソフトで「尖度」と呼ばれる超過尖度（excess kurtosis）は

$$\kappa \coloneqq \gamma_2 - 3.$$

• $\kappa = 0$（中尖（mesokurtic））：裾が正規分布と同様に振る舞う。正規分布が基準。
• $\kappa > 0$（尖峰（leptokurtic））：正規分布より重い裾——極端な値がより起きやすい。$t$ 分布やコーシー分布は尖峰型だ。
• $\kappa < 0$（低尖（platykurtic））：軽い裾——極端な値が正規分布より起きにくい。一様分布は $\kappa = -6/5$ だ。

尖度が測るのは裾の重さであり、「峰の鋭さ」ではない——この二つは同値ではない。

モーメントは分布を決定するか？

モーメントの列 $(\mu'_1, \mu'_2, \mu'_3, \ldots)$ が分布を一意に決めるかどうかは自然な問いだ。

決まる場合：モーメント問題。 すべてのモーメントが存在し、カルレマン条件（Carleman condition）が成り立つとき、

$$\sum_{k=1}^{\infty} (\mu'_{2k})^{-1/(2k)} = +\infty,$$

モーメントは分布を一意に決定する。正規分布・ポアソン分布・二項分布・指数分布はいずれもこの条件を満たす。

決まらない場合。 対数正規分布が典型的な反例だ：ある対数正規分布と同じモーメント列を持つ異なる分布が無数に存在する。モーメントの増加が速すぎる（$\mu'_k \sim e^{k^2/2}$）ためカルレマン条件が成り立たない。

実践上の意味：モーメント法でモデルを当てはめる際は、その分布クラスでモーメント問題が一意解を持つか確認すべきだ。

モーメントの存在

すべての分布がすべてのモーメントを持つわけではない。コーシー分布は平均も分散も定義されない——裾が $|x|^{-2}$ の速度で減衰するため、$\int |x| \, f(x) \, dx$ が収束しない。一般に、第 $k$ モーメントが存在するのは裾が少なくとも $|x|^{-(k+1+\varepsilon)}$（ある $\varepsilon > 0$ に対して）の速さで減衰するときだ。

有用な階層性として：第 $k$ モーメントが有限ならば、$j < k$ のすべての次数のモーメントも有限だ。これは $[0, \infty)$ 上の凹関数 $t \mapsto t^{j/k}$ へのイェンセン（Jensen）不等式から従う。

まとめ

• 第 $k$ 生モーメントは $\mu'_k = E[X^k]$；第 $k$ 中心モーメントは $\mu_k = E[(X - E[X])^k]$。
• 平均 $= \mu'_1$；分散 $= \mu_2 = \mu'_2 - (\mu'_1)^2$。
• 歪度 $\gamma_1 = \mu_3 / \sigma^3$ は非対称性を測る；$\gamma_1 > 0$ は右歪み。
• 超過尖度 $\kappa = \mu_4/\sigma^4 - 3$ は正規分布に対する裾の重さを測る；$\kappa > 0$ はより重い裾。
• カルレマン条件が成り立つときモーメントは分布を一意に決定する；対数正規分布はこれが成り立たない例を示す。
• コーシー分布は有限なモーメントを持たない——$E[|X|^k]$ が収束するには裾の減衰が十分速くなければならない。