確率変数

チェックポイント

• ベルヌーイ分布 Essential ベルヌーイ分布は単一の二値試行をモデル化する：確率 p で X = 1、確率 1 − p で X = 0 となる。このチェックポイントでは分布を定義し、平均と分散を計算し、二項分布・幾何分布その他多くの離散分布を構成する原子的な構成要素として位置づける。
• 二項分布 Essential 二項分布は n 回の独立なベルヌーイ(p) 試行における成功数を数え、PMF は P(X = k) = C(n,k) p^k (1−p)^(n−k) だ。このチェックポイントではベルヌーイという構成要素から PMF を導出し、平均 np と分散 np(1−p) を計算し、同じ p を持つ独立な二項分布の和が再び二項分布となる加法的構造を示す。
• 確率変数 Essential 確率変数は確率空間 (Ω, ℱ, P) から (ℝ, ℬ(ℝ)) への可測関数であり、その押し出し測度が分布だ。このチェックポイントでは定義を展開し、離散確率変数と絶対連続確率変数を区別し、累積分布関数（CDF）・確率質量関数（PMF）・確率密度関数（PDF）を導入し、可測性がなぜ変数に関する事象の確率を well-defined にする正確な条件かを説明する。
• 指数分布 Essential レート λ の指数分布は密度 f(x) = λ e^(−λx)（x ≥ 0）を持ち、無記憶性を持つ [0, ∞) 上の唯一の絶対連続分布だ。このチェックポイントでは分布を構成し、平均 1/λ と分散 1/λ² を計算し、幾何分布の連続時間版でありポアソン過程の到着間隔法則であることを説明する。
• ガンマ分布 Essential 形状パラメータ α > 0 とレートパラメータ λ > 0 を持つガンマ分布の密度は f(x) = λ^α x^(α−1) e^(−λx) / Γ(α)（x > 0）で、Γ はガンマ関数だ。このチェックポイントでは分布を定義し、整数 α について α 個の独立な指数分布 Exp(λ) の和がガンマ分布 Gamma(α, λ) になることを示し、平均 α/λ と分散 α/λ² を計算する。
• 幾何分布 Essential 幾何分布は独立なベルヌーイ(p) 試行を最初の成功が出るまで繰り返す回数をモデル化する。このチェックポイントでは PMF P(X = k) = (1−p)^(k−1) p を導出し、平均 1/p と分散 (1−p)/p² を計算し、正の整数上の離散分布の中で幾何分布のみが持つ無記憶性を証明する。
• 正規分布 Essential 正規分布（ガウス分布） N(μ, σ²) は密度 f(x) = (2πσ²)^(−1/2) exp(−(x − μ)² / 2σ²) を ℝ 上で持つ。このチェックポイントでは標準正規分布と一般正規分布を定義し、密度が 1 に積分されることを（古典的な √(2π) の計算とともに）検証し、平均 μ と分散 σ² を計算し、中心極限定理により正規分布が標準化された和の極限分布である理由を説明する。
• ポアソン分布 Essential レート λ のポアソン分布は確率 P(X = k) = e^(−λ) λ^k / k! を割り当て、n → ∞ のとき二項分布 Binomial(n, λ/n) の極限として現れる。このチェックポイントではその極限を明示的に取り、平均と分散（いずれも λ に等しい）を導出し、固定された窓内の希な独立事象のカウントの標準的なモデルとしてポアソン分布を動機づける。
• 主要な分布の間の関係 Essential 標準的な分布は独立した対象ではなく、構造的・漸近的な関係の密なネットワーク上に位置する。このチェックポイントでは両種の関係を整理する：構造的には、ベルヌーイは n = 1 の二項分布であり、幾何分布は指数分布の離散版であり、指数分布は α = 1 のガンマ分布だ；極限では、二項分布 Binomial(n, λ/n) → ポアソン分布、指数分布 Exp(λ) の和はガンマ分布 Gamma(α, λ)、そして有限分散を持つ任意の分布の標準化された和は正規分布に収束する。