ベルヌーイ分布

ベルヌーイ分布は最もシンプルな非自明な確率変数だ：成功か失敗かのどちらかに終わる単一の二値試行。より複雑なすべての離散分布——二項分布・幾何分布・負の二項分布——は直接これの上に構築される。

定義

確率変数 $X$ がパラメータ $p \in [0, 1]$ のベルヌーイ分布（Bernoulli distribution）に従うとき、$X \sim \text{Bernoulli}(p)$ と書き、$X$ は $0$ と $1$ のみの値をとり

$$P(X = 1) = p, \qquad P(X = 0) = 1 - p$$

を満たす。値 $1$ は慣習上成功、$0$ は失敗と呼ばれる。単一パラメータ $p$ は成功確率だ。

閉形式の PMF

二つの場合を一つの式にまとめると：

$$P(X = k) = p^k (1-p)^{1-k}, \qquad k \in \{0, 1\}.$$

累積分布関数

累積分布関数（CDF：cumulative distribution function）は区分的に定数だ：

$$F(x) \coloneqq P(X \le x) = \begin{cases} 0 & x < 0, \\ 1 - p & 0 \le x < 1, \\ 1 & x \ge 1. \end{cases}$$

平均

$X$ の期待値は、離散確率変数の期待値の定義から直接求まる：

$$E[X] = 0 \cdot P(X = 0) + 1 \cdot P(X = 1) = 0 \cdot (1-p) + 1 \cdot p = p.$$

したがって $E[X] = p$：平均は成功確率そのものだ。

分散

$\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$ を計算するには、まず $X \in \{0, 1\}$ なので $X^2 = X$ が成り立ち、$E[X^2] = E[X] = p$ となることに注目する。したがって

$$\text{Var}(X) = p - p^2 = p(1-p).$$

分散は $p = \tfrac{1}{2}$（最大の不確実性）で最大となり、$p = 0$ または $p = 1$（結果が確定）でゼロに崩壊する。

モーメント母関数

$X$ のモーメント母関数（MGF：moment generating function）は

$$M(t) \coloneqq E[e^{tX}] = e^{t \cdot 0}(1-p) + e^{t \cdot 1} p = (1 - p) + p e^t.$$

このコンパクトな表現により、$n$ 個の独立なコピーを掛け合わせることで二項分布の MGF を直接導出できる。

まとめ

• $X \sim \text{Bernoulli}(p)$ は成功確率 $p \in [0,1]$ の単一の二値試行をモデル化する。
• PMF：$P(X = k) = p^k(1-p)^{1-k}$（$k \in \{0,1\}$）。
• 平均：$E[X] = p$。
• 分散：$\text{Var}(X) = p(1-p)$、$p = \tfrac{1}{2}$ で最大。
• MGF：$M(t) = (1-p) + pe^t$。
• ベルヌーイ分布は二項分布・幾何分布・負の二項分布の原子的構成要素だ。