条件付き確率

チェックポイント

• ベイズの公式 Essential ベイズの公式は条件付き確率を反転させる：分割の各セル A_i における P(B | A_i) と事前確率 P(A_i) が与えられたとき、事後確率 P(A_i | B) は P(B | A_i) P(A_i) / Σ_j P(B | A_j) P(A_j) となる。このチェックポイントでは乗法定理と全確率の法則から公式を導出し、ベイズ推論の基盤（事前確率 × 尤度 ∝ 事後確率）として位置付け、古典的な診断検査の例を通じて基本率が直感に反する答えをもたらすことを示す。
• 条件付き期待値 Essential 条件付き期待値 E[X | B] は条件付き確率 P(· | B) のもとでの X の期待値であり、より一般に E[X | Y] は Y = y のとき E[X | Y = y] の値を取る確率変数だ。このチェックポイントでは離散・絶対連続の両ケースで条件付き期待値を定義し、それを条件変数の関数として提示し、線形性・単調性・既知量を外に出す性質を展開する。これらの性質が E[X | Y] を Y の生成する σ-加法族への自然な射影たらしめる。
• 条件付き確率 Essential B のもとでの A の条件付き確率は P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)（P(B) > 0 のとき定義される）。このチェックポイントでは定義を制限された標本空間 B 上の再規格化確率として動機付け、乗法定理 P(A ∩ B) = P(A | B) P(B) を導出し、Ω の分割を通じて全確率の法則を証明する。
• 事象の独立性 Essential 2つの事象 A と B は P(A ∩ B) = P(A) P(B) のとき独立であり、P(B) > 0 の事象では P(A | B) = P(A) と同値だ。このチェックポイントでは2つの事象の独立性を定義し、任意の族の二項独立と相互独立に一般化し、二項独立が相互独立より真に弱いことを例で示し、互いに排反という（似て非なる）概念と対比させる。
• 全期待値の法則 Essential 全期待値の法則は E[X] = E[E[X | Y]] を述べる——条件付き期待値を条件変数について平均すると無条件期待値が回復される。このチェックポイントでは離散・絶対連続の両ケースでこの恒等式を証明し、類似の全分散の法則 Var(X) = E[Var(X | Y)] + Var(E[X | Y]) を提示し、問題を単純化する補助変数に条件付けることで期待値を計算する手法に応用する。