二次元確率変数

チェックポイント

• 共分散と相関 Essential 共分散 Cov(X, Y) = E[(X − E[X])(Y − E[Y])] は 2 つの確率変数の同時線形変動を測り、その標準化形 ρ(X, Y) = Cov(X, Y) / (σ_X σ_Y) が [−1, 1] に収まるピアソン相関係数だ。このチェックポイントでは共分散の双線形性・和の分散の等式 Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 Cov(X, Y)・相関に対するコーシー–シュワルツ不等式を導出し、共分散がゼロでも独立性は含意しないことを警告する。
• 確率変数の独立性 Essential 2 つの確率変数 X と Y が独立であるとは、同時分布が周辺分布の積に分解される場合——F(x, y) = F_X(x) F_Y(y)、あるいは同値として同時密度（または PMF）が積に分解される——をいう。このチェックポイントでは定義を与え、独立な可積分確率変数に対する積の期待値の分解 E[XY] = E[X] E[Y] を証明し、3 つ以上の変数における対ごとの独立性と相互独立性の違いを説明する。
• 2次元確率変数の同時分布 Essential 同一の確率空間上の確率変数の対 (X, Y) は ℝ² 上の同時分布を誘導し、周辺分布はもう一方の変数を積分消去することで得られる。このチェックポイントでは同時 CDF・同時 PMF・同時密度を定義し、同時分布から周辺分布を導く公式を導出し、同時分布が周辺分布のみから得られる情報より真に豊かであることを説明する。