邊界（Topology）

Basis
最後更新: 標籤: 拓撲學

先備知識

站在一座島嶼的海岸線上：你既不在海洋中，也不在陸地上——你在兩者之間的邊界（boundary）上。你附近的每個開鄰域都同時觸及海洋和陸地。集合的邊界為任意拓撲空間中的這種幾何圖像提供了精確的描述：它是集合和其補集無法被任何開集分離的地方。

定義

設 (X,τ)(X, \tau) 為拓撲空間，A⊆XA \subseteq X。AA 的邊界，記作 ∂A\partial A（或 bd⁡(A)\operatorname{bd}(A) 或 Fr⁡(A)\operatorname{Fr}(A)），定義為

∂A≔A‾∩X∖A‾.(1)\partial A \coloneqq \overline{A} \cap \overline{X \setminus A}. \tag{1}

它是同時屬於 AA 的閉包和 AA 的補集的閉包的點的集合。

利用閉包的鄰域刻畫（點 xx 屬於 B‾\overline{B} 當且僅當 xx 的每個開集都與 BB 相交），可以將 (1)(1) 展開為一個直接條件：x∈∂Ax \in \partial A 當且僅當

∀ U∈τ,x∈U  ⟹  U∩A≠∅ 且 U∩(X∖A)≠∅.(2)\forall\, U \in \tau,\quad x \in U \implies U \cap A \neq \varnothing \text{ 且 } U \cap (X \setminus A) \neq \varnothing. \tag{2}

用通俗的話說：邊界點的每個開鄰域都同時觸及 AA 和它的補集，你無法將 xx 從任何一側「分離」出來。

三分定理

內部、邊界和外部這三個概念將 XX 分割為三個互不相交的部分。定義 AA 的**外部（exterior）**為 ext⁡(A)≔int⁡(X∖A)\operatorname{ext}(A) \coloneqq \operatorname{int}(X \setminus A)——補集的內部。

定理（XX 的三分）。 對任意 A⊆XA \subseteq X：

X=int⁡(A)∪∂A∪ext⁡(A),(3)X = \operatorname{int}(A) \cup \partial A \cup \operatorname{ext}(A), \tag{3}

且這三個集合兩兩不相交。

為何成立。 內部和外部是不相交的開集。若一個點的鄰域包含在 AA 中，它就在 int⁡(A)\operatorname{int}(A) 中；若鄰域包含在 X∖AX \setminus A 中，它就在 ext⁡(A)\operatorname{ext}(A) 中；若任何鄰域都不完全落在任一側，它就在 ∂A\partial A 中。XX 中每個點恰好落入這三種情形之一。

等價地，利用閉包與內部的對偶關係 A‾=X∖int⁡(X∖A)\overline{A} = X \setminus \operatorname{int}(X \setminus A)：

A‾=int⁡(A)∪∂A(4)\overline{A} = \operatorname{int}(A) \cup \partial A \tag{4}

（閉包是內部加上邊界），且這個分割是不相交的。

範例

R\mathbb{R} 上的標準拓撲

  • ∂(0,1)={0,1}\partial (0, 1) = \{0, 1\}。閉包是 [0,1][0,1]；補集 (−∞,0]∪[1,+∞)(-\infty, 0] \cup [1, +\infty) 的閉包是它本身；兩者的交集是 {0,1}\{0, 1\}。
  • ∂[0,1]={0,1}\partial [0, 1] = \{0, 1\}，同樣如此。集合和補集 (−∞,0)∪(1,+∞)(-\infty, 0) \cup (1, +\infty) 的邊界相同，不論端點是否包含在內。
  • ∂Q=R\partial \mathbb{Q} = \mathbb{R}。有理數和無理數都在 R\mathbb{R} 中稠密，故 Q‾=R\overline{\mathbb{Q}} = \mathbb{R} 且 R∖Q‾=R\overline{\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}} = \mathbb{R}；兩者的交集是整個 R\mathbb{R}。
  • ∂R=∅\partial \mathbb{R} = \varnothing。沒有補集；X∖X=∅X \setminus X = \varnothing，其閉包是 ∅\varnothing。

離散拓撲

在離散拓撲中，每個集合既是開集又是閉集，故 A‾=A\overline{A} = A 且 X∖A‾=X∖A\overline{X \setminus A} = X \setminus A。兩者的交集是 A∩(X∖A)=∅A \cap (X \setminus A) = \varnothing。在離散拓撲中，每個集合的邊界都是空的。

密著拓撲

只有 ∅\varnothing 和 XX 是閉集。對非空真子集 A⊊XA \subsetneq X，A‾=X\overline{A} = X 且 X∖A‾=X\overline{X \setminus A} = X，故 ∂A=X∩X=X\partial A = X \cap X = X。整個空間是每個非空真子集的邊界——這個極端情形反映了密著拓撲有多粗糙。

性質

設 (X,τ)(X, \tau) 為拓撲空間，A⊆XA \subseteq X。

  • ∂A\partial A 是閉集。 它是兩個閉集的交集：∂A=A‾∩X∖A‾\partial A = \overline{A} \cap \overline{X \setminus A}。
  • 對稱性： ∂A=∂(X∖A)\partial A = \partial(X \setminus A)。集合和其補集有相同的邊界——海岸線既不屬於海洋也不屬於陸地。
  • 分解： A‾=int⁡(A)⊔∂A\overline{A} = \operatorname{int}(A) \sqcup \partial A（不相交聯集），由等式 (4)(4) 得出。
  • 邊界的邊界： ∂(∂A)⊆∂A\partial(\partial A) \subseteq \partial A。閉集的邊界包含在該集合之中；由於 ∂A\partial A 是閉集，其邊界是自身的子集。
  • 內部與邊界不相交： int⁡(A)∩∂A=∅\operatorname{int}(A) \cap \partial A = \varnothing。內部點有一個在 AA 內的鄰域，將它與 X∖AX \setminus A 分離開來。

用邊界刻畫開集、閉集和 clopen 集

邊界對三類特殊集合給出特別簡潔的刻畫。

定理。 設 A⊆XA \subseteq X。則：

  1. AA 是開集，當且僅當 A∩∂A=∅A \cap \partial A = \varnothing（邊界完全在 AA 的補集中）。
  2. AA 是閉集，當且僅當 ∂A⊆A\partial A \subseteq A（邊界在 AA 的內部）。
  3. AA 是 clopen（既開又閉），當且僅當 ∂A=∅\partial A = \varnothing。

為何成立。

  1. 若 AA 是開集則 A=int⁡(A)A = \operatorname{int}(A)，它與 ∂A\partial A 不相交。反之，若 A∩∂A=∅A \cap \partial A = \varnothing，則 AA 中沒有點屬於 X∖A‾\overline{X \setminus A}，故 AA 的每個點都有一個包含在 AA 中的鄰域，使 AA 成為開集。

  2. AA 是閉集當且僅當 A‾=A\overline{A} = A。由於 A‾=int⁡(A)∪∂A\overline{A} = \operatorname{int}(A) \cup \partial A 且 int⁡(A)⊆A\operatorname{int}(A) \subseteq A，等式 A‾=A\overline{A} = A 成立當且僅當 ∂A⊆A\partial A \subseteq A。

  3. 結合 (1) 和 (2)：clopen 要求 A∩∂A=∅A \cap \partial A = \varnothing 且 ∂A⊆A\partial A \subseteq A，兩者合在一起迫使 ∂A=∅\partial A = \varnothing。

最後一點特別有用：在連通的拓撲空間中，只有 ∅\varnothing 和 XX 的邊界是空的，因為那是唯一的 clopen 集。邊界為空因此是不連通的見證。

座標中的邊界公式

在 Rn\mathbb{R}^n 的標準拓撲中，你可以把集合的邊界想成它的「拓撲外皮」——無窮小的球始終橫跨集合和其補集的那些點的集合。這與幾何直覺吻合：圓盤的邊界是它的圓周，正方體的邊界是它的六個面。在抽象拓撲中，這種直覺推廣到完全沒有幾何結構的任意空間。

摘要

  • 邊界 ∂A≔A‾∩X∖A‾\partial A \coloneqq \overline{A} \cap \overline{X \setminus A} 由每個鄰域都同時觸及 AA 和 X∖AX \setminus A 的所有點組成。
  • ∂A\partial A 永遠是閉集，且 ∂A=∂(X∖A)\partial A = \partial(X \setminus A)（邊界具有對稱性）。
  • 空間 XX 被分割為 int⁡(A)⊔∂A⊔ext⁡(A)\operatorname{int}(A) \sqcup \partial A \sqcup \operatorname{ext}(A)；閉包滿足 A‾=int⁡(A)⊔∂A\overline{A} = \operatorname{int}(A) \sqcup \partial A。
  • AA 是開集當且僅當 ∂A∩A=∅\partial A \cap A = \varnothing；閉集當且僅當 ∂A⊆A\partial A \subseteq A；clopen 當且僅當 ∂A=∅\partial A = \varnothing。
  • 在連通空間中，只有 ∅\varnothing 和 XX 的邊界是空的。
  • 在離散拓撲中每個集合的邊界都是空的；在密著拓撲中每個非空真子集的邊界等於整個 XX。