內部（Topology）

Basis
最後更新: 標籤: 拓撲學

先備知識

想到實數線上的區間 (0,1)(0, 1) 時，每個點都感覺「安全地在內部」——你可以向兩個方向稍微移動而仍留在區間內。相較之下，[0,1][0, 1] 的端點 00 恰好坐落在邊緣：每個鄰域都跨越了邊界。**內部（interior）**在任意拓撲空間中精確表達這種直覺，完全不提及距離。

內部點

設 (X,τ)(X, \tau) 為拓撲空間，A⊆XA \subseteq X。若存在開集 U∈τU \in \tau 使得

x∈U⊆A,(1)x \in U \subseteq A, \tag{1}

則稱 XX 中的點 xx 為 AA 的內部點（interior point）。

用通俗的話說：xx 是 AA 的內部點，當 xx 的某個開鄰域完全包含在 AA 中。注意 xx 本身必須屬於 AA（因為 x∈U⊆Ax \in U \subseteq A），所以只有 AA 的點才能成為 AA 的內部點。

集合的內部

AA 的內部，記作 int⁡(A)\operatorname{int}(A)（或 A∘A^\circ），是 AA 所有內部點的集合：

int⁡(A)≔{x∈X:∃ U∈τ, x∈U⊆A}.(2)\operatorname{int}(A) \coloneqq \{ x \in X : \exists\, U \in \tau,\ x \in U \subseteq A \}. \tag{2}

有一個等價且通常更有用的描述：int⁡(A)\operatorname{int}(A) 是 AA 的最大開子集（largest open subset），即所有包含在 AA 中的開集的聯集：

int⁡(A)=⋃{U∈τ:U⊆A}.(3)\operatorname{int}(A) = \bigcup \{ U \in \tau : U \subseteq A \}. \tag{3}

為了看出兩者一致，注意任何包含在 AA 中的開集 U⊆AU \subseteq A 都將其所有點貢獻到 (3)(3) 的聯集中，使它們依 (1)(1) 成為內部點。反之，每個內部點 xx 都見證了一個滿足 U⊆AU \subseteq A 的開集 U∋xU \ni x，所以 xx 也被聯集所包含。由於 τ\tau 在任意聯集下封閉（公理 T2），(3)(3) 中的聯集本身也是開集。

範例

實數線上的標準拓撲

在 R\mathbb{R} 的標準度量拓撲下：

  • int⁡((0,1))=(0,1)\operatorname{int}\bigl((0, 1)\bigr) = (0, 1) ——開區間的內部就是它本身。
  • int⁡([0,1])=(0,1)\operatorname{int}\bigl([0, 1]\bigr) = (0, 1) ——端點 00 和 11 被去掉，因為它們附近沒有任何開區間完全包含在 [0,1][0, 1] 中。
  • int⁡([0,1))=(0,1)\operatorname{int}\bigl([0, 1)\bigr) = (0, 1) ——同理；00 在邊緣。
  • int⁡(Q)=∅\operatorname{int}(\mathbb{Q}) = \varnothing ——每個開區間都含有無理數，故沒有開集包含在 Q\mathbb{Q} 中。
  • int⁡(R)=R\operatorname{int}(\mathbb{R}) = \mathbb{R} ——全集是開集。

離散拓撲

在任意集合 XX 上的離散拓撲中（每個子集都是開集），每個單點集 {x}\{x\} 都是開集。對任意 A⊆XA \subseteq X 和任意 x∈Ax \in A，開集 {x}\{x\} 滿足 x∈{x}⊆Ax \in \{x\} \subseteq A，故 AA 的每個點都是內部點：

int⁡(A)=A（離散拓撲）.\operatorname{int}(A) = A \quad \text{（離散拓撲）}.

密著拓撲

在 ∣X∣>1|X| > 1 的 XX 上的密著拓撲中（只有 ∅\varnothing 和 XX 是開集），唯一的非空開集是 XX 本身。滿足 U⊆AU \subseteq A 的開集 UU 必須屬於 {∅,X}\{\varnothing, X\}，所以只有 U=∅U = \varnothing 的可能（除非 A=XA = X）：

int⁡(A)={X若 A=X,∅否則.\operatorname{int}(A) = \begin{cases} X & \text{若 } A = X, \\ \varnothing & \text{否則.} \end{cases}

內部的性質

設 (X,τ)(X, \tau) 為拓撲空間，A,B⊆XA, B \subseteq X。

  • int⁡(A)\operatorname{int}(A) 是開集，且 int⁡(A)⊆A\operatorname{int}(A) \subseteq A。（直接由 (3)(3) 得出。）
  • AA 是開集，當且僅當 A=int⁡(A)A = \operatorname{int}(A)。 若 AA 是開集，它是 (3)(3) 的聯集中的一個集合，故 A⊆int⁡(A)A \subseteq \operatorname{int}(A)；結合 int⁡(A)⊆A\operatorname{int}(A) \subseteq A 得到等式。
  • 冪等性： int⁡(int⁡(A))=int⁡(A)\operatorname{int}(\operatorname{int}(A)) = \operatorname{int}(A)。由於 int⁡(A)\operatorname{int}(A) 已是開集，它的內部就是它本身。
  • 單調性： 若 A⊆BA \subseteq B，則 int⁡(A)⊆int⁡(B)\operatorname{int}(A) \subseteq \operatorname{int}(B)。
  • 對交集的分配： int⁡(A∩B)=int⁡(A)∩int⁡(B)\operatorname{int}(A \cap B) = \operatorname{int}(A) \cap \operatorname{int}(B)。
  • 對聯集的半分配： int⁡(A)∪int⁡(B)⊆int⁡(A∪B)\operatorname{int}(A) \cup \operatorname{int}(B) \subseteq \operatorname{int}(A \cup B)。等號一般不成立：在 R\mathbb{R} 中，int⁡([0,1])∪int⁡([1,2])=(0,1)∪(1,2)\operatorname{int}([0,1]) \cup \operatorname{int}([1,2]) = (0,1) \cup (1,2) 漏掉了 11，而 int⁡([0,1]∪[1,2])=int⁡([0,2])=(0,2)\operatorname{int}([0,1] \cup [1,2]) = \operatorname{int}([0,2]) = (0,2)。

對偶視角：閉包

內部與閉包（closure）透過取補運算互為對偶：

int⁡(A)=X∖X∖A‾,(4)\operatorname{int}(A) = X \setminus \overline{X \setminus A}, \tag{4}

其中 B‾\overline{B} 表示 BB 的閉包。你可以把這讀作：AA 的內部由那些不在補集閉包中的點組成。這種對偶性是根本性的——關於內部的結論和關於閉包的結論可以透過取補互相轉化。

摘要

  • 當某個開集 UU 滿足 x∈U⊆Ax \in U \subseteq A 時，xx 是 AA 的內部點。
  • 內部 int⁡(A)\operatorname{int}(A) 是 AA 所有內部點的集合，等價地也是 AA 的最大開子集。
  • AA 是開集，當且僅當 A=int⁡(A)A = \operatorname{int}(A)。
  • 內部算子具有冪等性和單調性，對有限交集可分配，對聯集只有單向的分配。
  • 在離散拓撲中每個集合等於自己的內部；在密著拓撲中只有 ∅\varnothing 和 XX 如此。
  • 內部與閉包互為對偶：int⁡(A)=X∖X∖A‾\operatorname{int}(A) = X \setminus \overline{X \setminus A}。