境界（位相）

Basis
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前提知識

島の海岸線に立つ場面を想像してほしい：海にも陸地にも属さず、二者の境界（boundary）に立っている。あなたの周りのあらゆる開近傍は海と陸の両方に達する。境界の概念はこの幾何学的な絵を、任意の位相空間に対して精確にする。集合とその補集合が、どの開集合によっても切り離せない場所だ。

定義

(X,τ)(X, \tau) を位相空間とし、A⊆XA \subseteq X とする。AA の境界（boundary）を ∂A\partial A（または bd⁡(A)\operatorname{bd}(A) や Fr⁡(A)\operatorname{Fr}(A)）と書き、次のように定義する：

∂A≔A‾∩X∖A‾.(1)\partial A \coloneqq \overline{A} \cap \overline{X \setminus A}. \tag{1}

AA の閉包と AA の補集合の閉包の両方に属する点の集合だ。

閉包の近傍的特徴づけ（x∈B‾x \in \overline{B} であることと xx のすべての開集合が BB と交わることの同値性）を使うと、(1)(1) をより直接的な条件に展開できる：x∈∂Ax \in \partial A であることと

∀ U∈τ,x∈U  ⟹  U∩A≠∅ かつ U∩(X∖A)≠∅(2)\forall\, U \in \tau,\quad x \in U \implies U \cap A \neq \varnothing \text{ かつ } U \cap (X \setminus A) \neq \varnothing \tag{2}

が成り立つことは同値だ。

平易な言葉で：境界点のあらゆる開近傍は AA にも補集合にも触れる。xx をどちらの側からも「切り離せない」。

分割定理

三つの概念 — 内部・境界・外部 — は XX を互いに素な三つの部分に切り分ける。AA の外部（exterior）を ext⁡(A)≔int⁡(X∖A)\operatorname{ext}(A) \coloneqq \operatorname{int}(X \setminus A) — 補集合の内部 — と定義する。

定理（XX の分割）. 任意の A⊆XA \subseteq X について：

X=int⁡(A)∪∂A∪ext⁡(A),(3)X = \operatorname{int}(A) \cup \partial A \cup \operatorname{ext}(A), \tag{3}

これら三つの集合は互いに素だ。

なぜ成り立つか. 内部と外部は互いに素な開集合だ。ある点が AA 内に近傍を持てば int⁡(A)\operatorname{int}(A) に属し、X∖AX \setminus A 内に近傍を持てば ext⁡(A)\operatorname{ext}(A) に属し、どちらの側にも完全に収まる近傍がなければ ∂A\partial A に属する。XX のすべての点はこの三ケースのいずれか一つにちょうど落ちる。

閉包–内部の双対性 A‾=X∖int⁡(X∖A)\overline{A} = X \setminus \operatorname{int}(X \setminus A) を使った等価な表示：

A‾=int⁡(A)∪∂A(4)\overline{A} = \operatorname{int}(A) \cup \partial A \tag{4}

（閉包は内部と境界の合併であり、その分割は互いに素だ）。

例

R\mathbb{R} の標準位相

  • ∂(0,1)={0,1}\partial (0, 1) = \{0, 1\}。閉包は [0,1][0,1]；補集合 (−∞,0]∪[1,+∞)(-\infty, 0] \cup [1, +\infty) の閉包は自身；その交叉は {0,1}\{0, 1\}。
  • ∂[0,1]={0,1}\partial [0, 1] = \{0, 1\} も同様だ。端点を含むかどうかにかかわらず、集合とその補集合の境界は同じだ。
  • ∂Q=R\partial \mathbb{Q} = \mathbb{R}。有理数も無理数も R\mathbb{R} で稠密なので Q‾=R\overline{\mathbb{Q}} = \mathbb{R} かつ R∖Q‾=R\overline{\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}} = \mathbb{R}；その交叉は R\mathbb{R} 全体だ。
  • ∂R=∅\partial \mathbb{R} = \varnothing。補集合がない；X∖X=∅X \setminus X = \varnothing の閉包は ∅\varnothing。

離散位相

離散位相ではすべての集合が開かつ閉なので A‾=A\overline{A} = A かつ X∖A‾=X∖A\overline{X \setminus A} = X \setminus A。その交叉は A∩(X∖A)=∅A \cap (X \setminus A) = \varnothing。離散位相ではすべての集合の境界が空集合だ。

密着位相

∅\varnothing と XX だけが閉集合だ。空でない真部分集合 A⊊XA \subsetneq X については A‾=X\overline{A} = X かつ X∖A‾=X\overline{X \setminus A} = X なので ∂A=X∩X=X\partial A = X \cap X = X。空間全体がすべての真の空でない部分集合の境界になる — 密着位相がいかに粗いかを示す極端なケースだ。

性質

(X,τ)(X, \tau) を位相空間とし、A⊆XA \subseteq X とする。

  • ∂A\partial A は閉集合。 二つの閉集合の交叉だ：∂A=A‾∩X∖A‾\partial A = \overline{A} \cap \overline{X \setminus A}。
  • 対称性：∂A=∂(X∖A)\partial A = \partial(X \setminus A)。境界は集合とその補集合で同じ — 海岸線は海にも陸にも属さない。
  • 分解：A‾=int⁡(A)⊔∂A\overline{A} = \operatorname{int}(A) \sqcup \partial A（互いに素な合併）、方程式 (4)(4) より。
  • 境界の境界：∂(∂A)⊆∂A\partial(\partial A) \subseteq \partial A。閉集合の境界はその集合に含まれる；∂A\partial A は閉集合なので、その境界は自身の部分集合だ。
  • 内部と境界は互いに素：int⁡(A)∩∂A=∅\operatorname{int}(A) \cap \partial A = \varnothing。内点は AA 内に近傍を持ち、X∖AX \setminus A から切り離される。

境界による開集合・閉集合・開閉集合の特徴づけ

境界は三つの特別な種類の集合を特にきれいに特徴づける。

定理. A⊆XA \subseteq X とする。このとき：

  1. AA が開集合であることと A∩∂A=∅A \cap \partial A = \varnothing（境界が AA の補集合に完全に含まれる）は同値だ。
  2. AA が閉集合であることと ∂A⊆A\partial A \subseteq A（境界が AA に含まれる）は同値だ。
  3. AA が開閉集合（clopen）であることと ∂A=∅\partial A = \varnothing は同値だ。

なぜ正しいか.

  1. AA が開ならば A=int⁡(A)A = \operatorname{int}(A) であり ∂A\partial A と互いに素。逆に A∩∂A=∅A \cap \partial A = \varnothing ならば AA の点はどれも X∖A‾\overline{X \setminus A} に属さず、すべての点が AA 内に近傍を持つので AA は開だ。

  2. AA が閉であることと A‾=A\overline{A} = A は同値。A‾=int⁡(A)∪∂A\overline{A} = \operatorname{int}(A) \cup \partial A かつ int⁡(A)⊆A\operatorname{int}(A) \subseteq A なので、A‾=A\overline{A} = A が成立することと ∂A⊆A\partial A \subseteq A は同値だ。

  3. (1) と (2) を組み合わせると：開閉は A∩∂A=∅A \cap \partial A = \varnothing かつ ∂A⊆A\partial A \subseteq A を要求し、両者が同時に成立するためには ∂A=∅\partial A = \varnothing が必要だ。

最後の点は特に有用だ：連結な位相空間では ∅\varnothing と XX だけが空の境界を持つ — なぜならそれらだけが開閉集合だからだ。境界の空性は不連結性の証人になる。

座標での境界の公式

標準位相を持つ Rn\mathbb{R}^n では、集合の境界をその「位相的な表面」と見ることができる — 無限小の小球が常に集合と補集合にまたがるような点の集合だ。これは幾何学的な直感と一致する：円板の境界はその円周であり、立方体の境界はその六つの面だ。抽象的な位相論では、この直感は幾何学を一切持たない任意の空間に一般化される。

まとめ

  • 境界 ∂A≔A‾∩X∖A‾\partial A \coloneqq \overline{A} \cap \overline{X \setminus A} は、近傍のどれもが AA にも X∖AX \setminus A にも触れるような点の全体だ。
  • ∂A\partial A は常に閉集合であり、∂A=∂(X∖A)\partial A = \partial(X \setminus A)（境界は対称）。
  • 空間 XX は int⁡(A)⊔∂A⊔ext⁡(A)\operatorname{int}(A) \sqcup \partial A \sqcup \operatorname{ext}(A) に分割される；閉包は A‾=int⁡(A)⊔∂A\overline{A} = \operatorname{int}(A) \sqcup \partial A を満たす。
  • AA が開であることと ∂A∩A=∅\partial A \cap A = \varnothing；閉であることと ∂A⊆A\partial A \subseteq A；開閉であることと ∂A=∅\partial A = \varnothing は、それぞれ同値だ。
  • 連結な空間では ∅\varnothing と XX だけが空の境界を持つ。
  • 離散位相ではすべての集合の境界が空；密着位相ではすべての真の空でない部分集合の境界が XX 全体だ。